Calcule as derivadas:
y=5 x^3-4 x^23 x^7+9 x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função que é uma fração polinomial. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de derivadas, especificamente a regra do quociente, que serve para derivar funções que são frações de duas outras funções. Então, vamos precisar aplicar essa regra para encontrar a derivada de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a regra do quociente. Se você tem uma função que é o quociente de duas funções, ou seja, y' = u'(x) cdot v(x) - u(x) cdot v'(x)[v(x)]^2 , a derivada dessa função é dada por:
Isso significa que a derivada de é igual à derivada de vezes , menos vezes a derivada de , tudo isso dividido pelo quadrado de .

Passo 3

Vamos identificar agora as partes da nossa função de acordo com a regra do quociente:
u(x) = 5x^3 - 4x^2
v(x) = 3x^7 + 9x^2

Passo 4

Agora, precisamos calcular as derivadas de u'(x) = ddx(5x^3) - ddx(4x^2) = 15x^2 - 8x e v'(x) = ddx(3x^7) + ddx(9x^2) = 21x^6 + 18x :
Para :
Para :

Passo 5

Vamos aplicar agora a regra do quociente com as derivadas que calculamos:
y' = (15x^2 - 8x)(3x^7 + 9x^2) - (5x^3 - 4x^2)(21x^6 + 18x)(3x^7 + 9x^2)^2

Passo 6

Vamos simplificar a expressão do numerador:
Primeiro, multiplicamos as expressões:
(15x^2 - 8x)(3x^7 + 9x^2) = 45x^9 + 135x^4 - 24x^8 - 72x^3
(5x^3 - 4x^2)(21x^6 + 18x) = 105x^9 + 90x^4 - 84x^8 - 72x^3
Agora, subtraímos:
(45x^9 + 135x^4 - 24x^8 - 72x^3) - (105x^9 + 90x^4 - 84x^8 - 72x^3) = -60x^9 + 60x^8 + 45x^4
Então, a derivada simplificada fica:
y' = -60x^9 + 60x^8 + 45x^4(3x^7 + 9x^2)^2
Podemos fatorar mais um pouco:
y' = 15x^4(-4x^5 + 4x^4 + 3)(3x^7 + 9x^2)^2

Resposta

A derivada da função é:
y' = 15x^4(-4x^5 + 4x^4 + 3)(3x^7 + 9x^2)^2

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