Calcule as derivadas:
y=(5 x^3-4 x^2)(3 x^7+9 x^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa derivada! A gente tem a função . Isso envolve cálculo diferencial, mais especificamente a regra do produto, que usamos quando temos duas funções multiplicando uma à outra. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto e a regra da potência para derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes que estão sendo multiplicadas. Vamos chamar:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de u' = ddx(5x^3) - ddx(4x^2) = 15x^2 - 8x e v' = ddx(3x^7) + ddx(9x^2) = 21x^6 + 18x separadamente. Usamos a regra da potência, que diz que a derivada de é .
Derivando :
Derivando :

Passo 4

Agora que temos y' = u'v + uv' e y' = (15x^2 - 8x)(3x^7 + 9x^2) + (5x^3 - 4x^2)(21x^6 + 18x) , vamos aplicar a regra do produto. A regra do produto diz que:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Vamos resolver cada parte individualmente.
Primeiro, multiplicando 15x^2 cdot 3x^7 &= 45x^9 15x^2 cdot 9x^2 &= 135x^4 -8x cdot 3x^7 &= -24x^8 -8x cdot 9x^2 &= -72x^3 por (15x^2 - 8x)(3x^7 + 9x^2) = 45x^9 - 24x^8 + 135x^4 - 72x^3 :
5x^3 cdot 21x^6 &= 105x^9 5x^3 cdot 18x &= 90x^4 -4x^2 cdot 21x^6 &= -84x^8 -4x^2 cdot 18x &= -72x^3
Então:
(5x^3 - 4x^2)(21x^6 + 18x) = 105x^9 - 84x^8 + 90x^4 - 72x^3
Segundo, multiplicando por :
Então:

Passo 6

Agora, vamos somar as duas partes que calculamos:
45x^9 - 24x^8 + 135x^4 - 72x^3 + , 105x^9 - 84x^8 + 90x^4 - 72x^3 = , (45x^9 + 105x^9) + (-24x^8 - 84x^8) + (135x^4 + 90x^4) + (-72x^3 - 72x^3) = , 150x^9 - 108x^8 + 225x^4 - 144x^3

Resposta

A derivada de y' = 150x^9 - 108x^8 + 225x^4 - 144x^3 é:

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