Determine a equação das retas tangente e secante ao gráfico da função f(x)=x^2- 3 x+4 no ponto (1, f(1)) e, represente-as graficamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações das retas tangente e secante ao gráfico da função no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas para a reta tangente e considerar outro ponto para a reta secante. Vamos precisar saber calcular derivadas e usar a fórmula da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de f(1) = (1)^2 - 3(1) + 4 = 1 - 3 + 4 = 2 . Substituindo na função:
Então, o ponto em questão é .

Passo 3

Agora, para encontrar a reta tangente, precisamos da derivada de f'(x) = 2x - 3 , que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto f'(1) = 2(1) - 3 = -1 . A derivada de é:
Em :
Então, a inclinação da reta tangente no ponto é .

Passo 4

Com a inclinação y - y1 = m(x - x1) e o ponto y - 2 = -1(x - 1) , podemos usar a fórmula da reta:
y = -x + 3
Substituindo:
Simplificando:
Essa é a equação da reta tangente.

Passo 5

Para a reta secante, precisamos de outro ponto na função para conectar com f(2) = (2)^2 - 3(2) + 4 = 4 - 6 + 4 = 2 . Vamos escolher e calcular :
Então, temos os pontos e .

Passo 6

A inclinação da reta secante é calculada pela variação em m = 2 - 22 - 1 = 01 = 0 dividida pela variação em :
Então, a inclinação da reta secante é .

Passo 7

Usando a fórmula da reta com y - 2 = 0(x - 1) e o ponto y = 2 :
Simplificando:
Essa é a equação da reta secante.

Resposta

A equação da reta tangente é e a equação da reta secante é .

Gráfico

(Aqui você pode representar graficamente as retas e o gráfico da função f(x) para visualizar a tangente e a secante no ponto dado.)

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