Determine a equação das retas tangente e secante ao gráfico da função no ponto e, represente-as graficamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações das retas tangente e secante ao gráfico da função no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas para a reta tangente e considerar outro ponto para a reta secante. Vamos precisar saber calcular derivadas e usar a fórmula da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de . Substituindo na função:
Então, o ponto em questão é .

Passo 3

Agora, para encontrar a reta tangente, precisamos da derivada de , que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto . A derivada de é:
Em :
Então, a inclinação da reta tangente no ponto é .

Passo 4

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da reta:
Substituindo:
Simplificando:
Essa é a equação da reta tangente.

Passo 5

Para a reta secante, precisamos de outro ponto na função para conectar com . Vamos escolher e calcular :
Então, temos os pontos e .

Passo 6

A inclinação da reta secante é calculada pela variação em dividida pela variação em :
Então, a inclinação da reta secante é .

Passo 7

Usando a fórmula da reta com e o ponto :
Simplificando:
Essa é a equação da reta secante.

Resposta

A equação da reta tangente é e a equação da reta secante é .

Gráfico

(Aqui você pode representar graficamente as retas e o gráfico da função f(x) para visualizar a tangente e a secante no ponto dado.)

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