Determine a equação das retas tangente e secante ao gráfico da função
no ponto
e, represente-as graficamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações das retas tangente e secante ao gráfico da função
no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas para a reta tangente e considerar outro ponto para a reta secante. Vamos precisar saber calcular derivadas e usar a fórmula da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
. Substituindo
na função:
Então, o ponto em questão é
.
Passo 3
Agora, para encontrar a reta tangente, precisamos da derivada de
, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
. A derivada de
é:
Em
:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto
é
.
Passo 4
Com a inclinação
e o ponto
, podemos usar a fórmula da reta:
Substituindo:
Simplificando:
Essa é a equação da reta tangente.
Passo 5
Para a reta secante, precisamos de outro ponto na função para conectar com
. Vamos escolher
e calcular
:
Então, temos os pontos
e
.
Passo 6
A inclinação da reta secante é calculada pela variação em
dividida pela variação em
:
Então, a inclinação da reta secante é
.
Passo 7
Usando a fórmula da reta com
e o ponto
:
Simplificando:
Essa é a equação da reta secante.
Resposta
A equação da reta tangente é
e a equação da reta secante é
.
Gráfico
(Aqui você pode representar graficamente as retas e o gráfico da função f(x) para visualizar a tangente e a secante no ponto dado.)