Encontrar aproximações para a solução do problema de condições de contorno e .
Na malha de com .
(Sugestão: implemente a solução no computador)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem com condições de contorno. Basicamente, queremos encontrar uma função que satisfaça a seguinte equação:
Com as condições de contorno:
Vamos resolver isso usando um método numérico chamado diferenças finitas na malha de com passo . Isso significa que vamos dividir o intervalo de 0 a 1 em partes iguais de 0,1 e aproximar a solução nesses pontos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como aproximar as derivadas na equação usando diferenças finitas. Para uma função , as aproximacões são:
Aqui, representa o valor de no ponto .

Passo 3

Agora, vamos substituir essas aproximações na equação original. Assim, a equação diferencial fica:
Vamos multiplicar tudo por para simplificar:

Passo 4

Rearranjando os termos para isolar e , temos:
Essa é a equação que vamos usar para cada ponto interno da malha.

Passo 5

Agora, vamos montar o sistema de equações para todos os pontos internos. Com , temos os pontos , , , …, até .
Sabemos que:
Para os pontos internos ( a ), aplicamos a equação que montamos no Passo 4.

Passo 6

Com tudo montado, teremos um sistema linear de 9 equações com 9 incógnitas ( a ). Esse sistema pode ser representado em forma de matriz e resolvido usando métodos como eliminação de Gauss ou métodos computacionais.

Passo 7

Após resolver o sistema, obtemos os valores aproximados de em cada ponto da malha. Esses valores nos dão a aproximação da solução da equação diferencial no intervalo com passo .

Resposta

Aproximadamente, os valores de nos pontos são:
Esses valores são obtidos resolvendo o sistema de equações formado pelas diferenças finitas e representam a aproximação da solução para o problema de contorno dado.

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