Encontrar aproximações para a solução do problema de condições de contorno
e
.
Na malha de
com
.
(Sugestão: implemente a solução no computador)
Na malha de
(Sugestão: implemente a solução no computador)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem com condições de contorno. Basicamente, queremos encontrar uma função
que satisfaça a seguinte equação:
Com as condições de contorno:
Vamos resolver isso usando um método numérico chamado diferenças finitas na malha de
com passo
. Isso significa que vamos dividir o intervalo de 0 a 1 em partes iguais de 0,1 e aproximar a solução nesses pontos.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como aproximar as derivadas na equação usando diferenças finitas. Para uma função
, as aproximacões são:
Aqui,
representa o valor de
no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos substituir essas aproximações na equação original. Assim, a equação diferencial fica:
Vamos multiplicar tudo por
para simplificar:
Passo 4
Rearranjando os termos para isolar
e
, temos:
Essa é a equação que vamos usar para cada ponto interno da malha.
Passo 5
Agora, vamos montar o sistema de equações para todos os pontos internos. Com
, temos os pontos
,
,
, …, até
.
Sabemos que:
Para os pontos internos (
a
), aplicamos a equação que montamos no Passo 4.
Passo 6
Com tudo montado, teremos um sistema linear de 9 equações com 9 incógnitas (
a
). Esse sistema pode ser representado em forma de matriz e resolvido usando métodos como eliminação de Gauss ou métodos computacionais.
Passo 7
Após resolver o sistema, obtemos os valores aproximados de
em cada ponto da malha. Esses valores nos dão a aproximação da solução da equação diferencial no intervalo
com passo
.
Resposta
Aproximadamente, os valores de
nos pontos
são:
Esses valores são obtidos resolvendo o sistema de equações formado pelas diferenças finitas e representam a aproximação da solução para o problema de contorno dado.
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e
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