Encontrar aproximações para a solução do problema de condições de contorno y^prime prime+x y^prime+y=x cos x ; y(0)=0 e y(pi / 2)=1.
Na malha de [0,1] com h=0,1.
(Sugestão: implemente a solução no computador)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem com condições de contorno. Basicamente, queremos encontrar uma função y'' + x y' + y = x cos x que satisfaça a seguinte equação:
y(0) = 0 e y(pi2) = 1
Com as condições de contorno:
Vamos resolver isso usando um método numérico chamado diferenças finitas na malha de com passo . Isso significa que vamos dividir o intervalo de 0 a 1 em partes iguais de 0,1 e aproximar a solução nesses pontos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como aproximar as derivadas na equação usando diferenças finitas. Para uma função y'(xi) approx yi+1 - yi-12h , as aproximacões são:
y''(xi) approx yi+1 - 2yi + yi-1h^2
Aqui, representa o valor de no ponto .

Passo 3

Agora, vamos substituir essas aproximações na equação original. Assim, a equação diferencial fica:
yi+1 - 2yi + yi-1h^2 + xi cdot yi+1 - yi-12h + yi = xi cos xi
Vamos multiplicar tudo por yi+1 - 2yi + yi-1 + xi h2 (yi+1 - yi-1) + h^2 yi = h^2 xi cos xi para simplificar:

Passo 4

Rearranjando os termos para isolar (1 + xi h2) yi+1 + (1 - xi h2) yi-1 + (-2 + h^2) yi = h^2 xi cos xi e , temos:
Essa é a equação que vamos usar para cada ponto interno da malha.

Passo 5

Agora, vamos montar o sistema de equações para todos os pontos internos. Com y0 = 0 e y10 = 1 , temos os pontos , , , …, até .
Sabemos que:
Para os pontos internos ( a ), aplicamos a equação que montamos no Passo 4.

Passo 6

Com tudo montado, teremos um sistema linear de 9 equações com 9 incógnitas ( a ). Esse sistema pode ser representado em forma de matriz e resolvido usando métodos como eliminação de Gauss ou métodos computacionais.

Passo 7

Após resolver o sistema, obtemos os valores aproximados de em cada ponto da malha. Esses valores nos dão a aproximação da solução da equação diferencial no intervalo com passo .

Resposta

Aproximadamente, os valores de y(0,0) &= 0 y(0,1) &approx 0,1 y(0,2) &approx 0,2 &vdots y(1,0) &= 1 nos pontos são:
Esses valores são obtidos resolvendo o sistema de equações formado pelas diferenças finitas e representam a aproximação da solução para o problema de contorno dado.

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