Calcule a energia de excitação de um próton em n=1, confinado numa região igual ao diâmetro de um núcleo (10^-15 m).

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a energia de excitação de um próton no estado , quando ele está confinado numa região com o diâmetro de um núcleo, que é metros. Vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente o modelo da partícula numa caixa, para encontrar a energia desse próton.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que, na mecânica quântica, a energia de uma partícula confinada em um espaço limitado pode ser quantizada, ou seja, assumir apenas certos valores específicos. Um modelo simples para isso é o da partícula numa caixa unidimensional, onde a energia dos estados En = n^2 pi^2 hbar^22 m L^2 é dada pela fórmula:
Aqui:
  • é a energia no estado ,
  • é o número quântico principal (no nosso caso, 1),
  • é a constante Pi,
  • é a constante de Planck reduzida ( ),
  • é a massa da partícula (próton),
  • é o comprimento da caixa (no nosso caso, o diâmetro do núcleo).

Passo 3

Vamos identificar os valores que precisamos:
  • (estado fundamental),
  • metros,
  • Massa do próton kg,
  • Constante de Planck J·s,
  • Então, J·s.

Passo 4

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula:
E1 = 1^2 times pi^2 times (1,055 times 10^-34)^22 times 1,67 times 10^-27 times (10^-15)^2

Passo 5

Vamos calcular passo a passo:
  1. Calcular (1,055 times 10^-34)^2 = 1,113 times 10^-68 J^2s^2 :
pi^2 approx 9,870
  1. Calcular 9,870 times 1,113 times 10^-68 approx 1,099 times 10^-67 J^2s^2 :
2 times 1,67 times 10^-27 times (10^-15)^2 = 2 times 1,67 times 10^-27 times 10^-30 = 3,34 times 10^-57 kgm^2
  1. Calcular o numerador:
E1 = 1,099 times 10^-673,34 times 10^-57 approx 3,29 times 10^-11 J
  1. Calcular o denominador:
  1. Dividir numerador pelo denominador:

Resposta

A energia de excitação do próton no estado é aproximadamente joules.

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