(a) Calcule a energia do ponto zero de um oscilador harmônico para uma partícula de massa de 5,16 times 10^-26 kg e constante de força de 285 N m^-1. (b) Em um oscilador harmônico constituído por uma partícula de massa 2,88 times 10^-25 kg, a diferença entre níveis de energia adjacentes é 3,17 times 10^-21 J. Calcule a constante de força do oscilador.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um exercício sobre oscilador harmônico quântico, que é um modelo usado para descrever sistemas como átomos ligados em moléculas ou partículas vibrando em potenciais. Precisamos calcular a energia do ponto zero (a energia mínima que o sistema possui mesmo quando está no estado fundamental) e a constante de força desse oscilador. Para isso, vamos usar as fórmulas da física quântica para osciladores harmônicos.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a). A fórmula para a energia do ponto zero ( E0 = 12 hbar omega ) de um oscilador harmônico é:
omega = raizkm
Onde:
  • é a constante de Planck reduzida ( , com )
  • é a frequência angular do oscilador
Para encontrar , usamos a relação entre a constante de força ( ) e a massa ( ):

Passo 3

Vamos calcular m = 5,16 times 10^-26 , kg com os valores fornecidos:
k = 285 , N/m
omega = raiz2855,16 times 10^-26
Substituindo na fórmula:
omega = raiz5,523 times 10^27 approx 7,43 times 10^13 , rad/s

Passo 4

Agora, vamos calcular hbar = 6,626 times 10^-342pi approx 1,055 times 10^-34 , J cdot s :
E0 = 12 times 1,055 times 10^-34 , J cdot s times 7,43 times 10^13 , rad/s
E0 approx 3,91 times 10^-21 , J

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b). A diferença de energia entre níveis adjacentes ( De) em um oscilador harmônico é dada por:
omega = De
Queremos encontrar a constante de força . Primeiro, encontramos a partir de :

Passo 6

Com k = m omega^2 conhecido, usamos a relação m = 2,88 times 10^-25 , kg para encontrar k = 2,88 times 10^-25 times (3,00 times 10^13)^2 :
k = 2,88 times 10^-25 times 9,00 times 10^26 approx 2,59 times 10^2 , N/m
Substituindo os valores:

Resposta

(a) A energia do ponto zero é aproximadamente .
(b) A constante de força do oscilador é aproximadamente .

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