Sabendo que a função de onda cai exponencialmente no interior da parede de energia potencial finita, demonstre que partículas mais leves possuem maior capacidade de tunelamento, e que sua velocidade é proporcional a
.
Passo 1
Então, galera! Vamos dar uma olhada nessa questão que fala sobre a função de onda que decai exponencialmente dentro de uma parede de potencial finita. O que precisamos aqui é entender um pouco de mecânica quântica, especialmente sobre tunelamento quântico. A gente vai precisar usar a equação de Schrödinger para analisar como partículas com diferentes massas têm diferentes capacidades de tunelamento e como a velocidade delas está relacionada à raiz quadrada da massa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função de onda descreve a probabilidade de encontrar uma partícula em uma determinada posição. Quando a partícula encontra uma barreira de potencial finita, a função de onda não para completamente; ela diminui exponencialmente dentro da barreira. Matemáticamente, isso é representado por:
Aqui,
é um parâmetro que depende da massa da partícula, da altura e da largura da barreira.
Passo 3
Agora, para encontrar
, usamos a equação de Schrödinger para uma barreira de potencial. A expressão para
é:
Onde:
-
é a massa da partícula, -
é a altura da barreira de potencial, -
é a energia da partícula, -
é a constante de Planck reduzida.
Passo 4
Observando a expressão de
, vemos que ela é diretamente proporcional à raiz quadrada da massa
:
Isso significa que quanto maior a massa da partícula, maior é
, e então a função de onda decai mais rapidamente dentro da barreira.
Passo 5
A probabilidade de tunelamento
está relacionada à função de onda na barreira e é dada aproximadamente por:
Onde
é a largura da barreira. Substituindo
na expressão, temos:
Passo 6
Da expressão acima, podemos ver que a probabilidade de tunelamento
diminui exponencialmente com o aumento da massa
. Ou seja, partículas mais leves têm
menor, o que resulta em uma probabilidade de tunelamento maior.
Passo 7
Sobre a velocidade, sabemos que a energia cinética
de uma partícula é dada por:
Resolvendo para
, temos:
Aqui, fica claro que a velocidade
é proporcional à raiz quadrada da massa
:
Resposta
Portanto, demonstramos que partículas mais leves possuem maior capacidade de tunelamento, e sua velocidade é proporcional a
.
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, confinado numa região igual ao diâmetro de um núcleo
.
Qual a probabilidade,
, de localizar o elétron entre
(extremidade esquerda de uma caixa) e
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que deve ser usada na preparação desta mesma solução.