Sabendo que a função de onda cai exponencialmente no interior da parede de energia potencial finita, demonstre que partículas mais leves possuem maior capacidade de tunelamento, e que sua velocidade é proporcional a .

Passo 1

Então, galera! Vamos dar uma olhada nessa questão que fala sobre a função de onda que decai exponencialmente dentro de uma parede de potencial finita. O que precisamos aqui é entender um pouco de mecânica quântica, especialmente sobre tunelamento quântico. A gente vai precisar usar a equação de Schrödinger para analisar como partículas com diferentes massas têm diferentes capacidades de tunelamento e como a velocidade delas está relacionada à raiz quadrada da massa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função de onda descreve a probabilidade de encontrar uma partícula em uma determinada posição. Quando a partícula encontra uma barreira de potencial finita, a função de onda não para completamente; ela diminui exponencialmente dentro da barreira. Matemáticamente, isso é representado por:
Aqui, é um parâmetro que depende da massa da partícula, da altura e da largura da barreira.

Passo 3

Agora, para encontrar , usamos a equação de Schrödinger para uma barreira de potencial. A expressão para é:
Onde:
  • é a massa da partícula,
  • é a altura da barreira de potencial,
  • é a energia da partícula,
  • é a constante de Planck reduzida.

Passo 4

Observando a expressão de , vemos que ela é diretamente proporcional à raiz quadrada da massa :
Isso significa que quanto maior a massa da partícula, maior é , e então a função de onda decai mais rapidamente dentro da barreira.

Passo 5

A probabilidade de tunelamento está relacionada à função de onda na barreira e é dada aproximadamente por:
Onde é a largura da barreira. Substituindo na expressão, temos:

Passo 6

Da expressão acima, podemos ver que a probabilidade de tunelamento diminui exponencialmente com o aumento da massa . Ou seja, partículas mais leves têm menor, o que resulta em uma probabilidade de tunelamento maior.

Passo 7

Sobre a velocidade, sabemos que a energia cinética de uma partícula é dada por:
Resolvendo para , temos:
Aqui, fica claro que a velocidade é proporcional à raiz quadrada da massa :

Resposta

Portanto, demonstramos que partículas mais leves possuem maior capacidade de tunelamento, e sua velocidade é proporcional a .

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