Qual a probabilidade, , de localizar o elétron entre (extremidade esquerda de uma caixa) e , no seu estado de energia mais baixa, em uma caixa unidimensional com o comprimento de ? Observação: Primeiramente faz-se necessário normalizar a função de onda da partícula na caixa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa calcular a probabilidade de encontrar um elétron entre e dentro de uma caixa unidimensional de comprimento no seu estado de energia mais baixa. Para isso, vamos trabalhar com a função de onda da partícula na caixa e primeiro normalizá-la.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como é a função de onda para um elétron na caixa unidimensional no estado fundamental (energia mais baixa). A função de onda para o estado é dada por:
Como estamos no estado de energia mais baixa, . Então, a função de onda fica:

Passo 3

Agora, precisamos normalizar essa função de onda. Normalizar significa ajustar a função para que a probabilidade total de encontrar o elétron na caixa inteira seja 1. A condição de normalização é:
Vamos calcular essa integral para verificar a normalização.
Usando a identidade trigonométrica , temos:
Calculando os limites:
Então, a função de onda já está normalizada.

Passo 4

Agora que a função de onda está normalizada, podemos calcular a probabilidade de encontrar o elétron entre e . A probabilidade é dada por:
Substituindo :
Usando novamente a identidade trigonométrica:
Calculando a integral:
Simplificando:
Calculando :
Então:

Resposta

A probabilidade de localizar o elétron entre e é aproximadamente .

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