Qual a probabilidade, P, de localizar o elétron entre x=0 (extremidade esquerda de uma caixa) e x=0,2 nm, no seu estado de energia mais baixa, em uma caixa unidimensional com o comprimento de 1,0 nm ? Observação: Primeiramente faz-se necessário normalizar a função de onda da partícula na caixa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa calcular a probabilidade de encontrar um elétron entre e dentro de uma caixa unidimensional de comprimento no seu estado de energia mais baixa. Para isso, vamos trabalhar com a função de onda da partícula na caixa e primeiro normalizá-la.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como é a função de onda para um elétron na caixa unidimensional no estado fundamental (energia mais baixa). A função de onda para o estado psin(x) = raiz2L sin(npi xL) é dada por:
psi1(x) = raiz2L sin(pi xL)
Como estamos no estado de energia mais baixa, . Então, a função de onda fica:

Passo 3

Agora, precisamos normalizar essa função de onda. Normalizar significa ajustar a função para que a probabilidade total de encontrar o elétron na caixa inteira seja 1. A condição de normalização é:
integral0^L |psi1(x)|^2 , dx = 1
Vamos calcular essa integral para verificar a normalização.
integral0^L (raiz2L sin(pi xL))^2 dx = 2L integral0^L sin^2(pi xL) dx
Usando a identidade trigonométrica 2L cdot 12 integral0^L (1 - cos(2pi xL)) dx = 1L [ x - L2pi sin(2pi xL) ]0^L , temos:
1L [ L - 0 ] = 1
Calculando os limites:
Então, a função de onda já está normalizada.

Passo 4

Agora que a função de onda está normalizada, podemos calcular a probabilidade de encontrar o elétron entre P = integral0^0,2,nm |psi1(x)|^2 , dx e P = integral0^0,2,nm (raiz2L sin(pi xL))^2 dx = 2L integral0^0,2,nm sin^2(pi xL) dx . A probabilidade é dada por:
P = 2L cdot 12 integral0^0,2,nm (1 - cos(2pi xL)) dx = 1L [ x - L2pi sin(2pi xL) ]0^0,2,nm
Substituindo P = 11,0,nm [ 0,2,nm - 1,0,nm2pi sin(2pi cdot 0,2,nm1,0,nm) ] :
P = 0,2 - 12pi sin(0,4pi1) = 0,2 - 12pi sin(0,4pi)
Usando novamente a identidade trigonométrica:
sin(0,4pi) = sin(25pi) approx 0,9511
Calculando a integral:
P approx 0,2 - 12pi times 0,9511 approx 0,2 - 0,1513 approx 0,0487
Simplificando:
Calculando :
Então:

Resposta

A probabilidade de localizar o elétron entre e é aproximadamente .

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