Qual a probabilidade,
, de localizar o elétron entre
(extremidade esquerda de uma caixa) e
, no seu estado de energia mais baixa, em uma caixa unidimensional com o comprimento de
? Observação: Primeiramente faz-se necessário normalizar a função de onda da partícula na caixa.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa calcular a probabilidade
de encontrar um elétron entre
e
dentro de uma caixa unidimensional de comprimento
no seu estado de energia mais baixa. Para isso, vamos trabalhar com a função de onda da partícula na caixa e primeiro normalizá-la.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como é a função de onda para um elétron na caixa unidimensional no estado fundamental (energia mais baixa). A função de onda para o estado
é dada por:
Como estamos no estado de energia mais baixa,
. Então, a função de onda fica:
Passo 3
Agora, precisamos normalizar essa função de onda. Normalizar significa ajustar a função para que a probabilidade total de encontrar o elétron na caixa inteira seja 1. A condição de normalização é:
Vamos calcular essa integral para verificar a normalização.
Usando a identidade trigonométrica
, temos:
Calculando os limites:
Então, a função de onda já está normalizada.
Passo 4
Agora que a função de onda está normalizada, podemos calcular a probabilidade de encontrar o elétron entre
e
. A probabilidade é dada por:
Substituindo
:
Usando novamente a identidade trigonométrica:
Calculando a integral:
Simplificando:
Calculando
:
Então:
Resposta
A probabilidade de localizar o elétron entre
e
é aproximadamente
.