Calcule f^prime sendo
f(x)=(2 x^2+3)^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de cálculo que pede para encontrar a derivada da função . Estamos trabalhando com derivadas e vamos precisar usar a regra da cadeia, que é uma ferramenta para derivar funções compostas. Então, vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte interna e a parte externa da nossa função, que é essencial para aplicar a regra da cadeia. Na função :
  • Parte interna:
  • Parte externa:

Passo 3

A regra da cadeia nos diz que para derivar uma função composta, a derivada é a derivada da parte externa multiplicada pela derivada da parte interna. Matemáticamente, isso fica:
f'(x) = ddx (u^4) cdot dudx

Passo 4

Vamos primeiro derivar a parte externa em relação a ddu (u^4) = 4u^3 :

Passo 5

Agora, vamos derivar a parte interna em relação a dudx = ddx (2x^2 + 3) = 4x :

Passo 6

Agora, aplicamos a regra da cadeia multiplicando as duas derivadas que encontramos:
f'(x) = 4u^3 cdot 4x = 16x cdot u^3

Passo 7

Lembrando que f'(x) = 16x cdot (2x^2 + 3)^3 , substituímos de volta na expressão:

Resposta

A derivada de f'(x) = 16x cdot (2x^2 + 3)^3 é:

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