Calcule f^prime sendo
f(x)=2 x cdot sen(3 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada de . Estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com a regra do produto. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções polinomiais e funções trigonométricas, além de aplicar a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, identifique as duas partes da função que estão sendo multiplicadas. Aqui, temos:
  • (uma função polinomial)
  • (uma função trigonométrica composta)

Passo 3

Vamos lembrar da regra do produto, que é usada quando queremos derivar o produto de duas funções. A regra diz que:
(f cdot g)' = f' cdot g + f cdot g'
Isso significa que a derivada do produto é igual à derivada da primeira função vezes a segunda função, mais a primeira função vezes a derivada da segunda função.

Passo 4

Agora, vamos derivar u'(x) = 2 .
A derivada de em relação a é simplesmente:
Isso porque a derivada de é 1, e multiplicamos pelo coeficiente 2.

Passo 5

Em seguida, vamos derivar v'(x) = 3 cdot cos(3x) .
Aqui, usamos a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas. A derivada de é .
Aplicando isso:

Passo 6

Agora, aplicamos a regra do produto usando as derivadas que encontramos:
f'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x)
Substituindo os valores:
f'(x) = 2 cdot sen(3x) + 2x cdot 3 cdot cos(3x)

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
f'(x) = 2,sen(3x) + 6x,cos(3x)

Resposta

A derivada de f^prime(x) = 2,sen(3x) + 6x,cos(3x) é:

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