A quantidade de bactérias presentes numa cultura controlada, no instante (horas), pode ser calculada pela equação .
Qual a velocidade instantânea de crescimento no instante ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que mostra quantas bactérias tem em uma cultura controlada a cada hora: . A pergunta é: qual é a velocidade instantânea de crescimento das bactérias no instante hora? Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a taxa de variação de uma função em um determinado ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a velocidade instantânea de crescimento. Basicamente, ela nos diz quão rápido a quantidade de bactérias está aumentando naquele exato momento. Para encontrar isso, precisamos calcular a derivada da função em relação ao tempo .

Passo 3

A função que temos é . Vamos derivar essa função em relação a . Lembre-se que a derivada de , onde é uma constante, é .

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de será:

Passo 5

Agora que temos a expressão para a derivada, podemos calcular a velocidade instantânea no instante substituindo por 1 na fórmula da derivada:

Passo 6

Vamos calcular o valor de . Sabemos que , então:

Passo 7

Multiplicando esse valor por 50:

Resposta

A velocidade instantânea de crescimento no instante é aproximadamente bactérias por hora.

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