A quantidade de bactérias presentes numa cultura controlada, no instante t (horas), pode ser calculada pela equação N(t)=150 e^t3.
Qual a velocidade instantânea de crescimento no instante t=1 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que mostra quantas bactérias tem em uma cultura controlada a cada hora: N(t)=150 e^t3. A pergunta é: qual é a velocidade instantânea de crescimento das bactérias no instante t=1 hora? Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a taxa de variação de uma função em um determinado ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a velocidade instantânea de crescimento. Basicamente, ela nos diz quão rápido a quantidade de bactérias está aumentando naquele exato momento. Para encontrar isso, precisamos calcular a derivada da função N(t) em relação ao tempo t.

Passo 3

A função que temos é N(t)=150 e^t3. Vamos derivar essa função em relação a t. Lembre-se que a derivada de e^kt, onde k é uma constante, é k e^kt.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de N(t) será:
N'(t) = 150 cdot 13 e^t3 = 50 e^t3

Passo 5

Agora que temos a expressão para a derivada, podemos calcular a velocidade instantânea no instante t=1 substituindo t por 1 na fórmula da derivada:
N'(1) = 50 e^13

Passo 6

Vamos calcular o valor de e^13. Sabemos que e approx 2,71828, então:
e^13 approx 2,71828^0,3333 approx 1,3956

Passo 7

Multiplicando esse valor por 50:
N'(1) = 50 times 1,3956 approx 69,78

Resposta

A velocidade instantânea de crescimento no instante t=1 é aproximadamente 69,78 bactérias por hora.

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