Calcule f^prime(x) em que f(x) é igual a
5 x-xx-1

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a derivada de . Isso envolve entender o que é derivada e quais regras vamos usar para resolver essa questão. Vamos precisar usar as regras básicas de derivação, como a derivada de uma função linear e a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função em duas partes para facilitar a derivação: e . A derivada de uma soma (ou subtração) de funções é igual à soma (ou subtração) das derivadas das funções individuais. Então, vamos derivar cada parte separadamente.

Passo 3

Vamos começar com a derivada de ddx(5x) = 5 . Sabemos que a derivada de uma função linear é simplesmente o coeficiente . Portanto:

Passo 4

Agora, vamos derivar a segunda parte: ddx(uv) = u'v - uv'v^2 . Para isso, vamos usar a Regra do Quociente, que diz que a derivada de u' = ddx(x) = 1 é:
v' = ddx(x - 1) = 1
Aqui, ddx(xx-1) = (1)(x-1) - (x)(1)(x-1)^2 = x - 1 - x(x-1)^2 = -1(x-1)^2 e ddx(-xx-1) = -(-1(x-1)^2) = 1(x-1)^2 . Vamos calcular e :
Aplicando a regra do quociente:
Como temos um sinal negativo antes da fração original, multiplicamos a derivada encontrada por -1:

Resposta

Assim, juntando as duas derivadas, temos:
f'(x) = 5 + 1(x-1)^2

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