Calcule as integrais abaixo utilizando os métodos indicados e comparando o resultado obtido com o valor analítico.
© integral0^pi(0,2 x^4+sen(x)+2) d x pela segunda regra de Simpson com m=6.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando a segunda regra de Simpson com .
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com integração numérica, especificamente com a regra de Simpson. Para isso, precisamos entender como aplicar essa regra e ajustar os parâmetros corretamente.
O que vamos precisar:
  • Conhecimento básico de cálculo integral.
  • Fórmulas da regra de Simpson.
  • Dividir o intervalo de integração em subintervalos iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração e o número de subintervalos.
  • Limite inferior ( ): 0
  • Limite superior ( ):
  • Número de subintervalos ( ): 6
A regra de Simpson requer que o número de subintervalos seja par, o que já está atendido aqui.

Passo 3

Calculamos o tamanho de cada subintervalo ( h = b - am = pi - 06 = pi6 ):

Passo 4

Identificamos os pontos de avaliação ( xi = a + i cdot h para i = 0, 1, 2, dots, 6 ) no intervalo [0, x0 &= 0 x1 &= 0 + 1 cdot pi6 = pi6 x2 &= 0 + 2 cdot pi6 = pi3 x3 &= 0 + 3 cdot pi6 = pi2 x4 &= 0 + 4 cdot pi6 = 2pi3 x5 &= 0 + 5 cdot pi6 = 5pi6 x6 &= 0 + 6 cdot pi6 = pi ]:
Calculando:

Passo 5

Aplicamos a segunda regra de Simpson, que é uma combinação ponderada dos valores da função nos pontos integrala^b f(x) dx approx h3 [ f(x0) + 4 sumimpares f(xi) + 2 sumpares, exceto i=0 e i=m f(xi) + f(xm) ] . A fórmula geral é:
f(x0) &= 0,2(0)^4 + sin(0) + 2 = 0 + 0 + 2 = 2 f(x1) &= 0,2(pi6)^4 + sin(pi6) + 2 approx 0,2(0,152) + 0,5 + 2 approx 0,0304 + 0,5 + 2 = 2,5304 f(x2) &= 0,2(pi3)^4 + sin(pi3) + 2 approx 0,2(3,058) + 0,8660 + 2 approx 0,6116 + 0,8660 + 2 = 3,4776 f(x3) &= 0,2(pi2)^4 + sin(pi2) + 2 approx 0,2(24,674) + 1 + 2 approx 4,9348 + 1 + 2 = 7,9348 f(x4) &= 0,2(2pi3)^4 + sin(2pi3) + 2 approx 0,2(19,739) + 0,8660 + 2 approx 3,9478 + 0,8660 + 2 = 6,8138 f(x5) &= 0,2(5pi6)^4 + sin(5pi6) + 2 approx 0,2(75,497) + 0,5 + 2 approx 15,0994 + 0,5 + 2 = 17,5994 f(x6) &= 0,2(pi)^4 + sin(pi) + 2 approx 0,2(97,409) + 0 + 2 approx 19,4818 + 0 + 2 = 21,4818
Vamos calcular cada parte:
  • f(x) =
  • Calculamos para a :

Passo 6

Aplicamos agora os coeficientes na fórmula da regra de Simpson:
integral0^pi f(x) dx &approx h3 [ f(x0) + 4(f(x1) + f(x3) + f(x5)) + 2(f(x2) + f(x4)) + f(x6) ] &= pi/63 [ 2 + 4(2,5304 + 7,9348 + 17,5994) + 2(3,4776 + 6,8138) + 21,4818 ] &= pi18 [ 2 + 4(28,0646) + 2(10,2914) + 21,4818 ] &= pi18 [ 2 + 112,2584 + 20,5828 + 21,4818 ] &= pi18 [ 156,32299999999998 ] &approx pi18 times 156,323 &approx 0,1745 times 156,323 &approx 27,25

Resposta

Usando a segunda regra de Simpson com , a integral está aproximadamente igual a 27,25.

Exercícios relacionados