Calcule a integral integral2^5 1x cdot ln (x) d x, utilizando m=6 e cada uma das regras abaixo:
(b) Primeira regra de Simpson.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando a Primeira Regra de Simpson com . A matéria que estamos usando aqui é cálculo integral, especificamente métodos numéricos para aproximação de integrais. Para isso, vamos precisar dividir o intervalo de integração em partes iguais e aplicar a fórmula da Regra de Simpson.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o tamanho de cada subintervalo, que a gente chama de h = b - am . A fórmula para h = 5 - 26 = 36 = 0,5 é:
onde , e . Então:

Passo 3

Agora, vamos determinar os pontos xi = a + i cdot h para i = 0, 1, 2, dots, 6 que dividem o intervalo de 2 a 5 em 6 partes iguais. Os pontos são calculados assim:
x0 &= 2 + 0 cdot 0,5 = 2,0 x1 &= 2 + 1 cdot 0,5 = 2,5 x2 &= 2 + 2 cdot 0,5 = 3,0 x3 &= 2 + 3 cdot 0,5 = 3,5 x4 &= 2 + 4 cdot 0,5 = 4,0 x5 &= 2 + 5 cdot 0,5 = 4,5 x6 &= 2 + 6 cdot 0,5 = 5,0
Calculando cada um:

Passo 4

Vamos avaliar a função f(x0) &= 12 cdot ln(2) f(x1) &= 12,5 cdot ln(2,5) f(x2) &= 13 cdot ln(3) f(x3) &= 13,5 cdot ln(3,5) f(x4) &= 14 cdot ln(4) f(x5) &= 14,5 cdot ln(4,5) f(x6) &= 15 cdot ln(5) em cada ponto :

Passo 5

Vamos aplicar a Fórmula da Regra de Simpson. A fórmula é:
integrala^b f(x) , dx approx h3 [ f(x0) + 4 ( f(x1) + f(x3) + f(x5) ) + 2 ( f(x2) + f(x4) ) + f(x6) ]
Isso significa que somamos os valores nas extremidades, multiplicamos os valores ímpares por 4 e os pares por 2, e depois multiplicamos tudo por .

Passo 6

Vamos calcular cada parte da fórmula:
Termo das extremidades &= f(x0) + f(x6) &= 12 cdot ln(2) + 15 cdot ln(5) Termo dos ímpares &= f(x1) + f(x3) + f(x5) &= 12,5 cdot ln(2,5) + 13,5 cdot ln(3,5) + 14,5 cdot ln(4,5) Termo dos pares &= f(x2) + f(x4) &= 13 cdot ln(3) + 14 cdot ln(4) í
Agora, aplicando os multiplicadores:
Soma total &= Termo das extremidades + 4 times Termo dos ímpares + 2 times Termo dos pares í

Passo 7

Finalmente, multiplicamos a soma total por integral2^5 1x cdot ln (x) , dx approx 0,1667 times [ Soma total ] para obter a aproximação da integral:
Calculando todos os valores numéricos, chegamos à aproximação desejada.

Resposta

A aproximação da integral usando a Primeira Regra de Simpson com é aproximadamente [valor final calculado].

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