Seja a função f(x)=10^x.
(a) Encontre o polinômio de Diferenças Divididas de grau 2 que passa pelos pontos de abcissas -1,0 e 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa encontrar o polinômio de Diferenças Divididas de grau 2 que passa pelos pontos onde as abcissas são , e . Vamos usar o método de diferenças divididas, que nos ajuda a construir esse polinômio de forma organizada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos que vamos usar. Como estamos lidando com as abcissas f(-1) &= 10^-1 = 0,1 f(0) &= 10^0 = 1 f(1) &= 10^1 = 10 , e , precisamos calcular os valores correspondentes de :
Então, nossos pontos são , e .

Passo 3

Agora, vamos montar a tabela de diferenças divididas. A tabela tem colunas para c|c x & f(x) hline -1 & 0,1 0 & 1 1 & 10 , , e . Vamos calcular essas diferenças passo a passo.
Primeiro, listamos os e :

Passo 4

Agora, calculamos as primeiras diferenças divididas, que são as diferenças entre os valores de f[-1, 0] = f(0) - f(-1)0 - (-1) = 1 - 0,11 = 0,9 divididas pelas diferenças de f[0, 1] = f(1) - f(0)1 - 0 = 10 - 11 = 9 :

Passo 5

Em seguida, calculamos a segunda diferença dividida, que utiliza as primeiras diferenças que acabamos de encontrar:
f[-1, 0, 1] = f[0, 1] - f[-1, 0]1 - (-1) = 9 - 0,92 = 8,12 = 4,05

Passo 6

Com todas as diferenças divididas calculadas, podemos construir o polinômio de interpolação usando a fórmula:
P2(x) = f[x0] + f[x0, x1](x - x0) + f[x0, x1, x2](x - x0)(x - x1)
Substituindo os valores que encontramos:
P2(x) = 0,1 + 0,9(x - (-1)) + 4,05(x - (-1))(x - 0)

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
P2(x) = 0,1 + 0,9(x + 1) + 4,05(x + 1)x
Distribuindo os termos:
P2(x) = 0,1 + 0,9x + 0,9 + 4,05x^2 + 4,05x
Somando os termos semelhantes:
P2(x) = 4,05x^2 + (0,9x + 4,05x) + (0,1 + 0,9)
P2(x) = 4,05x^2 + 4,95x + 1

Resposta

O polinômio de Diferenças Divididas de grau 2 que passa pelos pontos é:
P2(x) = 4,05x^2 + 4,95x + 1

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