Seja a função .
(a) Encontre o polinômio de Diferenças Divididas de grau 2 que passa pelos pontos de abcissas e 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa encontrar o polinômio de Diferenças Divididas de grau 2 que passa pelos pontos onde as abcissas são , e . Vamos usar o método de diferenças divididas, que nos ajuda a construir esse polinômio de forma organizada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos que vamos usar. Como estamos lidando com as abcissas , e , precisamos calcular os valores correspondentes de :
Então, nossos pontos são , e .

Passo 3

Agora, vamos montar a tabela de diferenças divididas. A tabela tem colunas para , , e . Vamos calcular essas diferenças passo a passo.
Primeiro, listamos os e :

Passo 4

Agora, calculamos as primeiras diferenças divididas, que são as diferenças entre os valores de divididas pelas diferenças de :

Passo 5

Em seguida, calculamos a segunda diferença dividida, que utiliza as primeiras diferenças que acabamos de encontrar:

Passo 6

Com todas as diferenças divididas calculadas, podemos construir o polinômio de interpolação usando a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
Distribuindo os termos:
Somando os termos semelhantes:

Resposta

O polinômio de Diferenças Divididas de grau 2 que passa pelos pontos é:

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© Utilizando a primeira regra de Simpson.