Calcule o valor da integral
(e) Calcule o erro cometido pelos três métodos utilizados com base no resultado obtido na letra a).
(e) Calcule o erro cometido pelos três métodos utilizados com base no resultado obtido na letra a).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a integral
e, na letra (e), calcular o erro cometido por três métodos diferentes com base no resultado obtido na letra (a).
Vamos precisar entender um pouco sobre cálculo integral, especialmente integrais definidas, e conhecer alguns métodos de aproximação de integrais, como o Método do Trapézio, Método de Simpson e a Regra dos Retângulos. Esses métodos nos ajudam a estimar o valor de integrais quando não conseguimos resolver de forma exata.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor exato da integral
. Para isso, vamos integrar cada termo separadamente.
A integral de
em relação a
é:
A integral de
em relação a
é:
Então, juntando essas integrais, temos:
onde
é a constante de integração.
Agora, para calcular o valor definido da integral de
a
, substituímos os limites:
Calculando
:
Então:
Portanto, o valor exato da integral é aproximadamente 2,0498.
Passo 3
Agora, vamos calcular o erro cometido por três métodos de aproximação: Método dos Retângulos (Esquerda e Direita) e Método do Trapézio.
1. Método dos Retângulos (Esquerda):
Neste método, dividimos a área em retângulos cuja altura é determinada pelo valor da função no início de cada subintervalo.
Neste método, dividimos a área em retângulos cuja altura é determinada pelo valor da função no início de cada subintervalo.
2. Método dos Retângulos (Direita):
Aqui, a altura dos retângulos é determinada pelo valor da função no final de cada subintervalo.
Aqui, a altura dos retângulos é determinada pelo valor da função no final de cada subintervalo.
3. Método do Trapézio:
Este método aproxima a área sob a curva como uma série de trapézios em vez de retângulos, usando os valores da função nos pontos inicial e final de cada subintervalo.
Este método aproxima a área sob a curva como uma série de trapézios em vez de retângulos, usando os valores da função nos pontos inicial e final de cada subintervalo.
Vamos supor que dividimos o intervalo
em 3 subintervalos de igual comprimento, ou seja, cada subintervalo tem largura
.
Cálculos:
-
Pontos de divisão:
, , , -
Valores da função
: -
1. Método dos Retângulos (Esquerda):
2. Método dos Retângulos (Direita):
3. Método do Trapézio:
Passo 4
Agora, vamos calcular o erro de cada método comparando a aproximação com o valor exato da integral, que foi aproximadamente 2,0498.
Erro = Valor Exato - Aproximação
1. Método dos Retângulos (Esquerda):
2. Método dos Retângulos (Direita):
(O erro negativo indica que a aproximação foi maior que o valor exato.)
3. Método do Trapézio:
Resposta
O erro cometido pelos métodos utilizados é:
- Método dos Retângulos (Esquerda): 0,5530
- Método dos Retângulos (Direita): -0,3971
- Método do Trapézio: 0,0779
Exercícios relacionados
Sendo
e considerando a segunda regra de Simpson pede-se:
(b) Determinar o número mínimo de intervalos necessários para avaliar esta integral com erro de truncamento máximo
(b) Determinar o número mínimo de intervalos necessários para avaliar esta integral com erro de truncamento máximo
Avalie
pela primeira regra de Simpson e com o número de subintervalos
e 8 .
Seja a função
.
(a) Encontre o polinômio de Diferenças Divididas de grau 2 que passa pelos pontos de abcissas e 1.
(a) Encontre o polinômio de Diferenças Divididas de grau 2 que passa pelos pontos de abcissas
Calcule as integrais abaixo utilizando os métodos indicados e comparando o resultado obtido com o valor analítico.
© pela segunda regra de Simpson com
.
©