Calcule o valor da integral integral0^3(1-e^-x) d x
(e) Calcule o erro cometido pelos três métodos utilizados com base no resultado obtido na letra a).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a integral e, na letra (e), calcular o erro cometido por três métodos diferentes com base no resultado obtido na letra (a).
Vamos precisar entender um pouco sobre cálculo integral, especialmente integrais definidas, e conhecer alguns métodos de aproximação de integrais, como o Método do Trapézio, Método de Simpson e a Regra dos Retângulos. Esses métodos nos ajudam a estimar o valor de integrais quando não conseguimos resolver de forma exata.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor exato da integral integral 1 , dx = x . Para isso, vamos integrar cada termo separadamente.
A integral de integral e^-x , dx = -e^-x em relação a integral (1 - e^-x) dx = x + e^-x + C é:
[ x + e^-x ]0^3 = (3 + e^-3) - (0 + e^0) = 3 + e^-3 - 1 = 2 + e^-3
A integral de e^-3 approx 0,0498 em relação a 2 + 0,0498 = 2,0498 é:
Então, juntando essas integrais, temos:
onde é a constante de integração.
Agora, para calcular o valor definido da integral de a , substituímos os limites:
Calculando :
Então:
Portanto, o valor exato da integral é aproximadamente 2,0498.

Passo 3

Agora, vamos calcular o erro cometido por três métodos de aproximação: Método dos Retângulos (Esquerda e Direita) e Método do Trapézio.
1. Método dos Retângulos (Esquerda):
Neste método, dividimos a área em retângulos cuja altura é determinada pelo valor da função no início de cada subintervalo.
2. Método dos Retângulos (Direita):
Aqui, a altura dos retângulos é determinada pelo valor da função no final de cada subintervalo.
3. Método do Trapézio:
Este método aproxima a área sob a curva como uma série de trapézios em vez de retângulos, usando os valores da função nos pontos inicial e final de cada subintervalo.
Vamos supor que dividimos o intervalo Aproximação = h times (f(x0) + f(x1) + f(x2)) = 1 times (0 + 0,6321 + 0,8647) = 1,4968 em 3 subintervalos de igual comprimento, ou seja, cada subintervalo tem largura Aproximação = h times (f(x1) + f(x2) + f(x3)) = 1 times (0,6321 + 0,8647 + 0,9502) = 2,4469 .
Cálculos:
  • Pontos de divisão: Aproximação = h2 times (f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + f(x3)) = 12 times (0 + 2 times 0,6321 + 2 times 0,8647 + 0,9502) = 12 times (0 + 1,2642 + 1,7294 + 0,9502) = 12 times 3,9438 = 1,9719 , , ,
  • Valores da função :
1. Método dos Retângulos (Esquerda):
çã
2. Método dos Retângulos (Direita):
çã
3. Método do Trapézio:
çã

Passo 4

Agora, vamos calcular o erro de cada método comparando a aproximação com o valor exato da integral, que foi aproximadamente 2,0498.
Erro = Valor Exato - Aproximação
1. Método dos Retângulos (Esquerda):
Erro = 2,0498 - 1,4968 = 0,5530
2. Método dos Retângulos (Direita):
Erro = 2,0498 - 2,4469 = -0,3971
(O erro negativo indica que a aproximação foi maior que o valor exato.)
3. Método do Trapézio:
Erro = 2,0498 - 1,9719 = 0,0779

Resposta

O erro cometido pelos métodos utilizados é:
  1. Método dos Retângulos (Esquerda): 0,5530
  2. Método dos Retângulos (Direita): -0,3971
  3. Método do Trapézio: 0,0779

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