Calcule as integrais abaixo utilizando os métodos indicados e comparando o resultado obtido com o valor analítico.
(b) integral0^3(e^x+2 x) d x utilizando a primeira regra de Simpson com m=4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo numérico, especificamente usando a Regra de Simpson para calcular a integral de . A Regra de Simpson é uma técnica que aproxima o valor da integral dividindo o intervalo de integração em partes menores. Para resolver isso, vamos precisar dividir o intervalo de 0 a 3 em 4 subintervalos (já que ) e aplicar a fórmula da Regra de Simpson.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o intervalo h = b - am = 3 - 04 = 0,75 em x0 = 0, x1 = 0,75, x2 = 1,5, x3 = 2,25, x4 = 3 subintervalos. Para isso, calculamos o tamanho de cada subintervalo ( ):
Então, os pontos que vamos usar são:

Passo 3

Agora, vamos calcular os valores da função f(x0) = e^0 + 2(0) = 1 + 0 = 1 nesses pontos:
f(x1) = e^0,75 + 2(0,75) approx 2,117 + 1,5 = 3,617
f(x2) = e^1,5 + 2(1,5) approx 4,482 + 3 = 7,482
f(x3) = e^2,25 + 2(2,25) approx 9,487 + 4,5 = 13,987
f(x4) = e^3 + 2(3) approx 20,086 + 6 = 26,086

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra de Simpson, que para integrala^b f(x) dx approx h3 [ f(x0) + 2 sumi=2,4,^m-2 f(xi) + 4 sumi=1,3,^m-1 f(xi) + f(xm) ] par é dada por:
integral0^3 (e^x + 2x) dx approx 0,753 [ 1 + 2(7,482) + 4(3,617 + 13,987) + 26,086 ]
Substituindo os valores que calculamos:

Passo 5

Vamos calcular os termos dentro dos colchetes:
1 + 2(7,482) = 1 + 14,964 = 15,964
4(3,617 + 13,987) = 4(17,604) = 70,416
15,964 + 70,416 + 26,086 = 112,466
Agora, multiplicamos por integral0^3 (e^x + 2x) dx approx 0,25 times 112,466 = 28,1165 :

Resposta

A integral integral0^3 (e^x + 2x) dx = e^3 - 1 + 9 approx 20,0855 - 1 + 9 = 28,0855 calculada pela Regra de Simpson com resulta em aproximadamente 28,1165. Comparando com o valor analítico:
A aproximação da Regra de Simpson está muito próxima do valor real, com um pequeno erro de .

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