A força exercida no mastro de um veleiro pode ser representada pela seguinte função:
f(z)=200(z5+z) e^-2 z / H
onde z é a elevação acima do convés e H é a altura do mastro. A força total F exercida no mastro pode ser determinada integrando essa função ao longo da altura do mastro:
F=integral0^H f(z) d z
A linha de ação também pode ser determinada por integração:
d=integral0^H z f(z) d zintegral0^H f(z) d z
(a) Use a regra composta da regra dos trapézios para calcular F e d para o caso em que H=30 e o número de subintervalos é m=6.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um problema envolvendo força exercida no mastro de um veleiro. A força varia com a altura f(z) = 200(z5+z) e^-2 z / H acima do convés e é dada pela função:
Nosso objetivo é calcular a força total e a linha de ação do mastro, usando a regra composta dos trapézios. Vamos usar metros e dividir a altura em subintervalos. Para isso, precisamos entender como aplicar a regra dos trapézios para aproximar integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a altura do mastro h = Hm = 306 = 5 metros metros em subintervalos. Isso significa que cada subintervalo terá um tamanho de:
Então, os pontos de avaliação serão: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30 metros.

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor da força f(zi) = 200(zi5+zi) e^-2 zi / 30 em cada um desses pontos:
f(0) = 200(05+0) e^0 = 0
Vamos fazer isso para cada f(5) = 200(55+5) e^-10/30 = 200 times 0.5 times e^-1/3 approx 200 times 0.5 times 0.7165 approx 71.65 :
  • f(10) = 200(105+10) e^-20/30 = 200 times 1015 times e^-2/3 approx 200 times 0.6667 times 0.5134 approx 68.45 :
    f(15) = 200(155+15) e^-30/30 = 200 times 1520 times e^-1 approx 200 times 0.75 times 0.3679 approx 55.19
  • f(20) = 200(205+20) e^-40/30 = 200 times 2025 times e^-4/3 approx 200 times 0.8 times 0.2636 approx 42.18 :
    f(25) = 200(255+25) e^-50/30 = 200 times 2530 times e^-5/3 approx 200 times 0.8333 times 0.1889 approx 31.56
  • f(30) = 200(305+30) e^-60/30 = 200 times 3035 times e^-2 approx 200 times 0.8571 times 0.1353 approx 23.14 :
  • :
  • :
  • :
  • :

Passo 4

Com os valores de F approx h2 [f(z0) + 2f(z1) + 2f(z2) + 2f(z3) + 2f(z4) + 2f(z5) + f(z6)] calculados, vamos aplicar a regra dos trapézios para aproximar a integral F approx 52 [0 + 2(71.65) + 2(68.45) + 2(55.19) + 2(42.18) + 2(31.56) + 23.14] :
0 + 143.30 + 136.90 + 110.38 + 84.36 + 63.12 + 23.14 = 560.30
Substituindo os valores:
F approx 52 times 560.30 = 2.5 times 560.30 = 1400.75 N
Calculando dentro dos colchetes:
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral no numerador para encontrar a linha de ação Numerador = integral0^30 z f(z) dz approx h2 [z0 f(z0) + 2z1 f(z1) + 2z2 f(z2) + 2z3 f(z3) + 2z4 f(z4) + 2z5 f(z5) + z6 f(z6)] :
Numerador approx 52 [0 times 0 + 2 times 5 times 71.65 + 2 times 10 times 68.45 + 2 times 15 times 55.19 + 2 times 20 times 42.18 + 2 times 25 times 31.56 + 30 times 23.14]
Substituindo os valores:
0 + 716.50 + 1369.00 + 1655.70 + 1687.20 + 1578.00 + 694.20 = 8040.60
Calculando dentro dos colchetes:
Numerador approx 52 times 8040.60 = 2.5 times 8040.60 = 20101.50 m·N
Então,

Resposta

Usando a regra composta dos trapézios com d = NumeradorF = 20101.501400.75 approx 14,33 metros metros e subintervalos, encontramos que:
  • A força total exercida no mastro é aproximadamente 1400,75 N.
  • A linha de ação do mastro é:

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