Calcule as integrais abaixo utilizando os métodos indicados e comparando o resultado obtido com o valor analítico.
(a)
usando a regra dos trapézios com
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral
usando a regra dos trapézios com
. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo integral, especificamente métodos numéricos de aproximação de integrais. Para isso, precisamos entender como funciona a regra dos trapézios e aplicar as fórmulas corretas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a regra dos trapézios. Esse método aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo de integração em
subintervalos e estimando a área como a soma de áreas de trapézios. Com
, temos apenas um trapézio para calcular.
Passo 3
Como temos
, o intervalo
não é dividido, então vamos usar os pontos finais
e
. A largura do subintervalo é
.
Passo 4
A fórmula da regra dos trapézios para
é:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos calcular o valor exato da integral:
Passo 6
Por fim, vamos comparar os resultados. A aproximação pela regra dos trapézios com
é
, enquanto o valor exato é
. Podemos ver que a regra dos trapézios nos dá uma boa estimativa, mas não é exata com apenas um trapézio.
Resposta
A aproximação da integral usando a regra dos trapézios com
é
e o valor exato é
.
Exercícios relacionados
Seja a função
.
(d) Justificar por que os resultados dos itens (b) e © são iguais.
(d) Justificar por que os resultados dos itens (b) e © são iguais.
A força exercida no mastro de um veleiro pode ser representada pela seguinte função:
onde
é a elevação acima do convés e
é a altura do mastro. A força total
exercida no mastro pode ser determinada integrando essa função ao longo da altura do mastro:
A linha de ação também pode ser determinada por integração:
(a) Use a regra composta da regra dos trapézios para calcular
e
para o caso em que
e o número de subintervalos é
.
Determine a distância percorrida para os seguintes dados de velocidade:
|
1 | 2 | 3,25 | 4,5 | 6 | 7 | 8 | 8,5 | 9 | 10 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
5 | 6 | 5,5 | 7 | 8,5 | 8 | 6 | 7 | 7 | 5 |
Use a regra dos trapézio.
A força exercida no mastro de um veleiro pode ser representada pela seguinte função:
onde
é a elevação acima do convés e
é a altura do mastro. A força total
exercida no mastro pode ser determinada integrando essa função ao longo da altura do mastro:
A linha de ação também pode ser determinada por integração:
(b) Repita o exercício da letra a) considerando a primeira regra de Simpson fórmula composta.