Calcule as integrais abaixo utilizando os métodos indicados e comparando o resultado obtido com o valor analítico.
(a) integral0^1 e^x d x usando a regra dos trapézios com m=1.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral usando a regra dos trapézios com . A matéria que vamos usar aqui é o cálculo integral, especificamente métodos numéricos de aproximação de integrais. Para isso, precisamos entender como funciona a regra dos trapézios e aplicar as fórmulas corretas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a regra dos trapézios. Esse método aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo de integração em subintervalos e estimando a área como a soma de áreas de trapézios. Com , temos apenas um trapézio para calcular.

Passo 3

Como temos , o intervalo não é dividido, então vamos usar os pontos finais e . A largura do subintervalo é .

Passo 4

A fórmula da regra dos trapézios para integrala^b f(x) dx approx h2 [ f(x0) + f(x1) ] é:
12 [ e^0 + e^1 ] = 12 [ 1 + e ]
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor exato da integral:
integral0^1 e^x dx = e^1 - e^0 = e - 1

Passo 6

Por fim, vamos comparar os resultados. A aproximação pela regra dos trapézios com é , enquanto o valor exato é . Podemos ver que a regra dos trapézios nos dá uma boa estimativa, mas não é exata com apenas um trapézio.

Resposta

A aproximação da integral usando a regra dos trapézios com é e o valor exato é .

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