A força exercida no mastro de um veleiro pode ser representada pela seguinte função:
onde é a elevação acima do convés e é a altura do mastro. A força total exercida no mastro pode ser determinada integrando essa função ao longo da altura do mastro:
A linha de ação também pode ser determinada por integração:
(b) Repita o exercício da letra a) considerando a primeira regra de Simpson fórmula composta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a força exercida no mastro de um veleiro, representada pela função . A gente precisa calcular a força total e a linha de ação usando integrais. Na parte (b), vamos usar a primeira regra de Simpson, que é uma técnica de integração numérica, para resolver isso. Então, o que a gente precisa saber é como aplicar a regra de Simpson para aproximar integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a regra de Simpson. Ela é um método de integração numérica que aproxima a integral de uma função usando parábolas. A fórmula composta de Simpson significa que vamos dividir o intervalo de integração em partes menores para obter uma melhor aproximação. A fórmula geral para a regra composta de Simpson é:
Onde e é o número de subintervalos (deve ser par).

Passo 3

Vamos aplicar isso para calcular a força total . Primeiro, definimos e . Escolheremos um número par de subintervalos, digamos para simplificar. Assim, .
Os pontos de avaliação serão:
Agora, calculamos para cada um desses pontos.

Passo 4

Aplicando a fórmula de Simpson:
Vamos substituir os valores de e calcular cada termo.

Passo 5

Após calcular com a regra de Simpson, precisamos calcular a linha de ação . A fórmula é:
Vamos aplicar a mesma regra de Simpson para ambas as integrais, ou seja, para e para .

Passo 6

Calculamos as duas integrais separadamente usando a regra de Simpson composta:
Para :
Para :
Já calculamos isso no Passo 4 como .

Passo 7

Finalmente, substituímos os valores obtidos nas integrais na fórmula de :
Isso nos dará a linha de ação da força no mastro.

Resposta

Após aplicar a regra de Simpson composta com , a força total e a linha de ação são aproximadamente:
(Note: Substitua “[valor calculado]” com os resultados numéricos obtidos após os cálculos específicos.)

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Determine a distância percorrida para os seguintes dados de velocidade:
1 2 3,25 4,5 6 7 8 8,5 9 10
5 6 5,5 7 8,5 8 6 7 7 5
Use a regra dos trapézio.
Calcule as integrais abaixo utilizando os métodos indicados e comparando o resultado obtido com o valor analítico.
(a) usando a regra dos trapézios com .
Sendo e considerando a segunda regra de Simpson pede-se:
(a) Estimar utilizando 6 subintervalos de integração e 4 casas decimais.
Calcule o valor da integral
(d) Utilizando a segunda regra de Simpson.