A força exercida no mastro de um veleiro pode ser representada pela seguinte função:
f(z)=200(z5+z) e^-2 z / H
onde z é a elevação acima do convés e H é a altura do mastro. A força total F exercida no mastro pode ser determinada integrando essa função ao longo da altura do mastro:
F=integral0^H f(z) d z
A linha de ação também pode ser determinada por integração:
d=integral0^H z f(z) d zintegral0^H f(z) d z
(b) Repita o exercício da letra a) considerando a primeira regra de Simpson fórmula composta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a força exercida no mastro de um veleiro, representada pela função . A gente precisa calcular a força total e a linha de ação usando integrais. Na parte (b), vamos usar a primeira regra de Simpson, que é uma técnica de integração numérica, para resolver isso. Então, o que a gente precisa saber é como aplicar a regra de Simpson para aproximar integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a regra de Simpson. Ela é um método de integração numérica que aproxima a integral de uma função usando parábolas. A fórmula composta de Simpson significa que vamos dividir o intervalo de integração em partes menores para obter uma melhor aproximação. A fórmula geral para a regra composta de Simpson é:
integrala^b f(z) dz approx De
Onde e é o número de subintervalos (deve ser par).

Passo 3

Vamos aplicar isso para calcular a força total z0 = 0, z1 = H4, z2 = H2, z3 = 3H4, z4 = H . Primeiro, definimos e . Escolheremos um número par de subintervalos, digamos para simplificar. Assim, .
Os pontos de avaliação serão:
Agora, calculamos para cada um desses pontos.

Passo 4

Aplicando a fórmula de Simpson:
F approx H/43 [ f(z0) + 4f(z1) + 2f(z2) + 4f(z3) + f(z4) ]
Vamos substituir os valores de e calcular cada termo.

Passo 5

Após calcular d = integral0^H z f(z) dzintegral0^H f(z) dz com a regra de Simpson, precisamos calcular a linha de ação . A fórmula é:
Vamos aplicar a mesma regra de Simpson para ambas as integrais, ou seja, para e para .

Passo 6

Calculamos as duas integrais separadamente usando a regra de Simpson composta:
Para integral0^H z f(z) dz approx H/43 [ z0 f(z0) + 4 z1 f(z1) + 2 z2 f(z2) + 4 z3 f(z3) + z4 f(z4) ] :
Para :
Já calculamos isso no Passo 4 como .

Passo 7

Finalmente, substituímos os valores obtidos nas integrais na fórmula de d = Valor da integral integral0^H z f(z) dzF :
Isso nos dará a linha de ação da força no mastro.

Resposta

Após aplicar a regra de Simpson composta com F approx [valor calculado] , a força total d approx [valor calculado] e a linha de ação são aproximadamente:
(Note: Substitua “[valor calculado]” com os resultados numéricos obtidos após os cálculos específicos.)

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