A força exercida no mastro de um veleiro pode ser representada pela seguinte função:
onde
é a elevação acima do convés e
é a altura do mastro. A força total
exercida no mastro pode ser determinada integrando essa função ao longo da altura do mastro:
A linha de ação também pode ser determinada por integração:
(b) Repita o exercício da letra a) considerando a primeira regra de Simpson fórmula composta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a força exercida no mastro de um veleiro, representada pela função
. A gente precisa calcular a força total
e a linha de ação
usando integrais. Na parte (b), vamos usar a primeira regra de Simpson, que é uma técnica de integração numérica, para resolver isso. Então, o que a gente precisa saber é como aplicar a regra de Simpson para aproximar integrais definidas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a regra de Simpson. Ela é um método de integração numérica que aproxima a integral de uma função usando parábolas. A fórmula composta de Simpson significa que vamos dividir o intervalo de integração em partes menores para obter uma melhor aproximação. A fórmula geral para a regra composta de Simpson é:
Onde
e
é o número de subintervalos (deve ser par).
Passo 3
Vamos aplicar isso para calcular a força total
. Primeiro, definimos
e
. Escolheremos um número par de subintervalos, digamos
para simplificar. Assim,
.
Os pontos de avaliação serão:
Agora, calculamos
para cada um desses pontos.
Passo 4
Aplicando a fórmula de Simpson:
Vamos substituir os valores de
e calcular cada termo.
Passo 5
Após calcular
com a regra de Simpson, precisamos calcular a linha de ação
. A fórmula é:
Vamos aplicar a mesma regra de Simpson para ambas as integrais, ou seja, para
e para
.
Passo 6
Calculamos as duas integrais separadamente usando a regra de Simpson composta:
Para
:
Para
:
Já calculamos isso no Passo 4 como
.
Passo 7
Finalmente, substituímos os valores obtidos nas integrais na fórmula de
:
Isso nos dará a linha de ação da força no mastro.
Resposta
Após aplicar a regra de Simpson composta com
, a força total
e a linha de ação
são aproximadamente:
(Note: Substitua “[valor calculado]” com os resultados numéricos obtidos após os cálculos específicos.)
Exercícios relacionados
Determine a distância percorrida para os seguintes dados de velocidade:
|
1 | 2 | 3,25 | 4,5 | 6 | 7 | 8 | 8,5 | 9 | 10 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
5 | 6 | 5,5 | 7 | 8,5 | 8 | 6 | 7 | 7 | 5 |
Use a regra dos trapézio.
Calcule as integrais abaixo utilizando os métodos indicados e comparando o resultado obtido com o valor analítico.
(a) usando a regra dos trapézios com
.
(a)
Sendo
e considerando a segunda regra de Simpson pede-se:
(a) Estimar utilizando 6 subintervalos de integração e 4 casas decimais.
(a) Estimar
Calcule o valor da integral
(d) Utilizando a segunda regra de Simpson.
(d) Utilizando a segunda regra de Simpson.