Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema é calcular a integral . Aqui, estamos trabalhando com funções trigonométricas e integração. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e fazer uma substituição adequada para simplificar a expressão e facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador . Podemos usar a identidade trigonométrica que relaciona e sen x + cos x = raiz2 sen(x + pi4) :
No entanto, essa abordagem pode complicar um pouco. Em vez disso, vamos tentar reescrever o denominador de uma forma que possamos fazer uma substituição mais simples. Observando o denominador:
Podemos tentar completar o quadrado ou usar uma substituição que simplifique a soma de seno e cosseno.
Passo 3
Uma boa estratégia é escrever em termos de sen x = 2 tan x21 + tan^2 x2 e cos x = 1 - tan^2 x21 + tan^2 x2 . Sabemos que:
2 tan x2 + 1 - tan^2 x2 + 1 + tan^2 x2 = 2 tan x2 + 2
Então, temos:
Passo 5
Agora, voltando à integral original:
Sabemos que I = integral dxsen x + cos x + 1 = integral dx2 (tan x2 + 1)1 + tan^2 x2 = integral 1 + tan^2 x22 (tan x2 + 1) dx , mas para facilitar, vamos fazer uma substituição.
Passo 6
Vamos definir:
u = tan x2 + 1
Então, derivando ambos os lados em relação a du = 12 sec^2 x2 dx = 12 (1 + tan^2 x2) dx :