Calcule as integrais definidas.
integral0^1raiz2 1raiz1-x^2 d x

Passo 1

Vamos calcular a integral definida integral0^1raiz2 1raiz1-x^2 , dx. Esse exercício faz parte do estudo de cálculo integral, especificamente envolvendo funções que têm ligações com trigonometria. Para resolver, vamos precisar saber qual é a antiderivada da função 1raiz1-x^2, que está relacionada à função arco seno.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a integral de 1raiz1-x^2 , dx é a função arco seno, ou seja, arcsin(x). Assim, a antiderivada de 1raiz1-x^2 é arcsin(x).

Passo 3

Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que a integral definida de uma função de a até b é igual à antiderivada avaliada em b menos a antiderivada avaliada em a. Então:
integral0^1raiz2 1raiz1-x^2 , dx = arcsin(1raiz2) - arcsin(0)

Passo 4

Sabemos que arcsin(1raiz2) corresponde ao ângulo cujo seno é 1raiz2, que é pi4 radianos (ou 45 graus). Além disso, arcsin(0) = 0 porque o seno de 0 é 0.

Resposta

O valor da integral definida é pi4.

Exercícios relacionados