Determine a área da região entre a curva e o eixo x no intervalo dado.
y=-x^2-2 x ;[-3,2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região entre a curva e o eixo no intervalo de a . Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente usando integrais definidas para calcular áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar a área entre a curva e o eixo . Basicamente, a gente vai calcular a integral da função de a . A integral vai nos dar a área sob a curva nesse intervalo.

Passo 3

Antes de tudo, vamos relembrar que a integral definida de uma função integrala^b f(x) , dx de a é dada por:
Essa integral calcula a área líquida entre a curva e o eixo no intervalo .

Passo 4

No nosso caso, integral-3^2 (-x^2 - 2x) , dx , e . Então, a integral que precisamos calcular é:

Passo 5

Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, vamos integrar cada termo separadamente.
A integral de integral -x^2 , dx = -x^33 é:
integral -2x , dx = -x^2
E a integral de é:

Passo 6

Agora, juntando essas integrais, temos a antiderivada da função:
-x^33 - x^2

Passo 7

Para encontrar a área, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de -(2)^33 - (2)^2 = -83 - 4 = -83 - 123 = -203 e -(-3)^33 - (-3)^2 = --273 - 9 = 9 - 9 = 0 e calcular a diferença.
Primeiro, avaliamos em :
Agora, avaliamos em :

Passo 8

A diferença entre esses valores é:
-203 - 0 = -203
Como a área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
203

Resposta

A área da região entre a curva e o eixo no intervalo é unidades de área.

Exercícios relacionados