Determine a área da região entre a curva e o eixo no intervalo dado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região entre a curva e o eixo no intervalo de a . Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente usando integrais definidas para calcular áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar a área entre a curva e o eixo . Basicamente, a gente vai calcular a integral da função de a . A integral vai nos dar a área sob a curva nesse intervalo.

Passo 3

Antes de tudo, vamos relembrar que a integral definida de uma função de a é dada por:
Essa integral calcula a área líquida entre a curva e o eixo no intervalo .

Passo 4

No nosso caso, , e . Então, a integral que precisamos calcular é:

Passo 5

Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, vamos integrar cada termo separadamente.
A integral de é:
E a integral de é:

Passo 6

Agora, juntando essas integrais, temos a antiderivada da função:

Passo 7

Para encontrar a área, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de e e calcular a diferença.
Primeiro, avaliamos em :
Agora, avaliamos em :

Passo 8

A diferença entre esses valores é:
Como a área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:

Resposta

A área da região entre a curva e o eixo no intervalo é unidades de área.

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