Determine a área da região entre a curva e o eixo
no intervalo dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região entre a curva
e o eixo
no intervalo de
a
. Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente usando integrais definidas para calcular áreas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar a área entre a curva e o eixo
. Basicamente, a gente vai calcular a integral da função
de
a
. A integral vai nos dar a área sob a curva nesse intervalo.
Passo 3
Antes de tudo, vamos relembrar que a integral definida de uma função
de
a
é dada por:
Essa integral calcula a área líquida entre a curva
e o eixo
no intervalo
.
Passo 4
No nosso caso,
,
e
. Então, a integral que precisamos calcular é:
Passo 5
Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, vamos integrar cada termo separadamente.
A integral de
é:
E a integral de
é:
Passo 6
Agora, juntando essas integrais, temos a antiderivada da função:
Passo 7
Para encontrar a área, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de
e
e calcular a diferença.
Primeiro, avaliamos em
:
Agora, avaliamos em
:
Passo 8
A diferença entre esses valores é:
Como a área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
Resposta
A área da região entre a curva
e o eixo
no intervalo
é
unidades de área.
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