Obtenha a decomposição em fatores L e U da matriz:
[lll 3 & 2 & 4 1 & 1 & 2 4 & 3 & 2 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver a decomposição LU da matriz que você me enviou. Decomposição LU significa que vamos separar a matriz original em duas matrizes: uma matriz triangular inferior e uma matriz triangular superior . Isso é útil para resolver sistemas de equações e entender melhor as propriedades da matriz. Para isso, vamos usar o método de eliminação de Gauss, que basicamente elimina os elementos abaixo da diagonal principal para formar a matriz , enquanto registramos as multiplicações usadas no processo na matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz original:
A = 3 & 2 & 4 1 & 1 & 2 4 & 3 & 2
Queremos encontrar e tais que .

Passo 3

Vamos começar criando a matriz L = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 , U = 3 & 2 & 4 1 & 1 & 2 4 & 3 & 2 como uma matriz identidade e como uma cópia da matriz :

Passo 4

O próximo passo é eliminar o elemento abaixo da primeira entrada m21 = U21U11 = 13 . Para isso, vamos multiplicar a primeira linha por Linha 2 = Linha 2 - m21 times Linha 1 e subtrair do segunda linha.
Calculando o multiplicador:
3 & 2 & 4 1 & 1 & 2 4 & 3 & 2 - 13 times 3 & 2 & 4 = 3 & 2 & 4 0 & 13 & 23 4 & 3 & 2
Atualizamos a segunda linha:
L = 1 & 0 & 0 13 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Vamos fazer isso:
Também registramos na matriz :

Passo 5

Agora, vamos eliminar o elemento abaixo de m31 = U31U11 = 43 na terceira linha.
Calculando o multiplicador:
Linha 3 = Linha 3 - m31 times Linha 1
Atualizamos a terceira linha:
4 & 3 & 2 - 43 times 3 & 2 & 4 = 0 & -13 & -103
Fazendo isso:
U = 3 & 2 & 4 0 & 13 & 23 0 & -13 & -103
Atualizamos a matriz L = 1 & 0 & 0 13 & 1 & 0 43 & 0 & 1 :
E registramos na matriz :

Passo 6

Agora, focamos na segunda coluna para eliminar o elemento abaixo de m32 = U32U22 = -1313 = -1 na terceira linha.
Calculando o multiplicador:
Linha 3 = Linha 3 - m32 times Linha 2
Atualizamos a terceira linha:
0 & -13 & -103 - (-1) times 0 & 13 & 23 = 0 & 0 & -83
Fazendo isso:
U = 3 & 2 & 4 0 & 13 & 23 0 & 0 & -83
Atualizamos a matriz L = 1 & 0 & 0 13 & 1 & 0 43 & -1 & 1 :
E registramos na matriz :

Resposta

A decomposição LU da matriz dada é:
L = 1 & 0 & 0 13 & 1 & 0 43 & -1 & 1 , U = 3 & 2 & 4 0 & 13 & 23 0 & 0 & -83

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