Calcule as integrais definidas.
integralraiz2^2 xx raizx^2-1

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver uma integral definida: . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente integrais envolvendo funções com raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão e usar técnicas de integração apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da integral. Observe que temos xx raizx^2-1 = 1raizx^2-1 no numerador e no denominador:
integralraiz2^2 1raizx^2-1 , dx
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral simplificada integral 1raizx^2-1 , dx = ln|x + raizx^2-1| + C . Sabemos que a integral de é , onde é a constante de integração. No nosso caso, , então:

Passo 4

Como estamos lidando com uma integral definida de [ ln|x + raizx^2-1| ]raiz2^2 = ln(2 + raiz2^2-1) - ln(raiz2 + raiz(raiz2)^2-1) a 2 + raiz4 - 1 = 2 + raiz3 , vamos calcular o valor da antiderivada nos limites de integração:
raiz2 + raiz2 - 1 = raiz2 + 1
Simplificando dentro dos logaritmos:
Para ln(2 + raiz3) - ln(raiz2 + 1) :
Para :
Então, a expressão fica:

Resposta

A integral definida vale .

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