Os métodos baseados em eliminação podem apresentar problemas de convergência se os valores dos pivôs forem próximos de zero. Para contornar esse problema, um processo de escolha de valores adequados para o elemento pivô pode ser empregado. A estratégia de pivotamento parcial consiste em, no início da etapa k, escolher como pivô o elemento de maior valor absoluto dentre os coeficientes ai k, i=k, k+1, ldots, n, trocando as linhas i e k, se necessário.
Considere o sistema linear:
l 0.0002 x1+2 x2=5 2 x1+2 x2=6
e obtenha as soluções sem e com o uso da estratégia de pivotamento parcial, usando representação de um sistema de ponto flutuante normalizado com 2 casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema linear com duas equações:
l 0.0002 x1 + 2 x2 = 5 2 x1 + 2 x2 = 6
O objetivo é resolver esse sistema usando o método de eliminação, tanto sem quanto com a estratégia de pivotamento parcial. Isso envolve manipular as equações para encontrar os valores de e . Vamos precisar entender como o método de eliminação funciona e por que o pivotamento é importante para evitar problemas de precisão.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o sistema sem usar pivotamento parcial. O método de eliminação consiste em eliminar uma variável para resolver a outra. Vamos começar eliminando 0.0002 x1 + 2 x2 = 5 (Equação 1) 2 x1 + 2 x2 = 6 (Equação 2) .
Temos:
10,!000 times (0.0002 x1 + 2 x2) = 10,!000 times 5 2 x1 + 20,!000 x2 = 50,!000 (Equação 1 ajustada) çãçã
Para eliminar (2 x1 + 20,!000 x2) - (2 x1 + 2 x2) = 50,!000 - 6 0 x1 + 19,!998 x2 = 49,!994 , podemos multiplicar a Equação 1 por x2 = 49,!99419,!998 approx 2.50 000) para facilitar os cálculos:
çã
Agora, subtraímos a Equação 2 da Equação 1 ajustada:
Isolando :

Passo 3

Agora que temos 2 x1 + 2 (2.50) = 6 2 x1 + 5 = 6 2 x1 = 1 x1 = 0.50 , vamos substituir esse valor em uma das equações originais para encontrar . Vamos usar a Equação 2:

Passo 4

Então, sem usar o pivotamento parcial, encontramos as soluções:
x1 = 0.50 e x2 = 2.50

Passo 5

Agora, vamos resolver o mesmo sistema usando a estratégia de pivotamento parcial. O pivotamento parcial ajuda a evitar problemas de convergência quando os elementos pivot são muito pequenos, o que pode causar erros de arredondamento. Basicamente, antes de cada etapa de eliminação, escolhemos o maior valor absoluto na coluna do pivô e trocamos as linhas para posicionar esse valor como pivô.

Passo 6

No nosso sistema, começamos pela primeira coluna ( l 2 x1 + 2 x2 = 6 (Nova Linha 1) 0.0002 x1 + 2 x2 = 5 (Nova Linha 2) ). Os coeficientes de são (Linha 1) e (Linha 2). O maior valor absoluto é , então trocamos a Linha 1 com a Linha 2:

Passo 7

Agora, aplicamos o método de eliminação na nova Linha 1 e Linha 2. Vamos eliminar 2 x1 + 2 x2 = 6 .
Primeiro, mantemos a Linha 1 como está:
0.0001 times (2 x1 + 2 x2) = 0.0001 times 6 0.0002 x1 + 0.0002 x2 = 0.0006 (Linha 1 ajustada)
Para eliminar (0.0002 x1 + 2 x2) - (0.0002 x1 + 0.0002 x2) = 5 - 0.0006 0 x1 + 1.9998 x2 = 4.9994 na Linha 2, multiplicamos a Linha 1 por 2.00 x2 = 5.00 x2 = 5.002.00 = 2.50 (para que o coeficiente de na Linha 2 seja zero):
Subtraímos a Linha 1 ajustada da Linha 2:
Arredondando para duas casas decimais (sistema de ponto flutuante normalizado):

Passo 8

Com 2 x1 + 2 (2.50) = 6 2 x1 + 5 = 6 2 x1 = 1 x1 = 0.50 , substituímos na Linha 1 para encontrar :

Resposta

Sem o uso da estratégia de pivotamento parcial:
x1 = 0.50 e x2 = 2.50
Com o uso da estratégia de pivotamento parcial:
x1 = 0.50 e x2 = 2.50

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