Os métodos baseados em eliminação podem apresentar problemas de convergência se os valores dos pivôs forem próximos de zero. Para contornar esse problema, um processo de escolha de valores adequados para o elemento pivô pode ser empregado. A estratégia de pivotamento parcial consiste em, no início da etapa
, escolher como pivô o elemento de maior valor absoluto dentre os coeficientes
, trocando as linhas
e
, se necessário.
Considere o sistema linear:
e obtenha as soluções sem e com o uso da estratégia de pivotamento parcial, usando representação de um sistema de ponto flutuante normalizado com 2 casas decimais.
Considere o sistema linear:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema linear com duas equações:
O objetivo é resolver esse sistema usando o método de eliminação, tanto sem quanto com a estratégia de pivotamento parcial. Isso envolve manipular as equações para encontrar os valores de
e
. Vamos precisar entender como o método de eliminação funciona e por que o pivotamento é importante para evitar problemas de precisão.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver o sistema sem usar pivotamento parcial. O método de eliminação consiste em eliminar uma variável para resolver a outra. Vamos começar eliminando
.
Temos:
Para eliminar
, podemos multiplicar a Equação 1 por
000) para facilitar os cálculos:
Agora, subtraímos a Equação 2 da Equação 1 ajustada:
Isolando
:
Passo 3
Agora que temos
, vamos substituir esse valor em uma das equações originais para encontrar
. Vamos usar a Equação 2:
Passo 4
Então, sem usar o pivotamento parcial, encontramos as soluções:
Passo 5
Agora, vamos resolver o mesmo sistema usando a estratégia de pivotamento parcial. O pivotamento parcial ajuda a evitar problemas de convergência quando os elementos pivot são muito pequenos, o que pode causar erros de arredondamento. Basicamente, antes de cada etapa de eliminação, escolhemos o maior valor absoluto na coluna do pivô e trocamos as linhas para posicionar esse valor como pivô.
Passo 6
No nosso sistema, começamos pela primeira coluna (
). Os coeficientes de
são
(Linha 1) e
(Linha 2). O maior valor absoluto é
, então trocamos a Linha 1 com a Linha 2:
Passo 7
Agora, aplicamos o método de eliminação na nova Linha 1 e Linha 2. Vamos eliminar
.
Primeiro, mantemos a Linha 1 como está:
Para eliminar
na Linha 2, multiplicamos a Linha 1 por
(para que o coeficiente de
na Linha 2 seja zero):
Subtraímos a Linha 1 ajustada da Linha 2:
Arredondando para duas casas decimais (sistema de ponto flutuante normalizado):
Passo 8
Com
, substituímos na Linha 1 para encontrar
:
Resposta
Sem o uso da estratégia de pivotamento parcial:
Com o uso da estratégia de pivotamento parcial:
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Obtenha a decomposição em fatores
e
da matriz: