Determine a área da região entre a curva e o eixo x no intervalo dado.
y=x^13-x ;[-1,8]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a área da região entre a curva e o eixo no intervalo de de a . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente integração definida, que usamos para calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender onde a curva cruza o eixo x^13 = x , ou seja, onde x = x^3 . Vamos resolver a equação x^3 - x = 0 x(x^2 - 1) = 0 x = 0 ou x^2 - 1 = 0 Rightarrow x = pm1 :
Elevando ambos os lados ao cubo para eliminar a raiz:
Rearranjando:
Então, as curvas cruzam o eixo em , e .

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento da função no intervalo de a . Observamos que a função muda de sinal nesses pontos de interseção, o que significa que a área calculada deve considerar essas mudanças para garantir que estamos somando áreas positivas.

Passo 4

Vamos dividir o intervalo em partes onde a função está acima ou abaixo do eixo :
  1. De a : está acima do eixo .
  2. De a : está abaixo do eixo .
  3. De a : está acima do eixo .
Isso nos ajuda a determinar os limites de integração e os sinais para cada parte da área.

Passo 5

A área total será a soma das áreas dessas três regiões. Para cada intervalo, vamos calcular a integral da função Área = integral-1^0 (x^13 - x) , dx - integral0^1 (x^13 - x) , dx + integral1^8 (x^13 - x) , dx em relação a :
Á
Note que subtraímos a segunda integral porque a função está abaixo do eixo nesse intervalo.

Passo 6

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira Integral:
integral-1^0 (x^13 - x) , dx = [ 34x^43 - 12x^2 ]-1^0
Avaliar de ( 34(0)^43 - 12(0)^2 ) - ( 34(-1)^43 - 12(-1)^2 ) = 0 - ( 34(1) - 12(1) ) = -( 34 - 12 ) = -14 a integral0^1 (x^13 - x) , dx = [ 34x^43 - 12x^2 ]0^1 = ( 34(1)^43 - 12(1)^2 ) - 0 = 34 - 12 = 14 :
integral1^8 (x^13 - x) , dx = [ 34x^43 - 12x^2 ]1^8
Segunda Integral:
( 34(8)^43 - 12(8)^2 ) - ( 34(1)^43 - 12(1)^2 )
Terceira Integral:
8^13 = 2 Rightarrow 8^43 = (8^13)^4 = 2^4 = 16
Avaliar de ( 34(16) - 12(64) ) - ( 34(1) - 12(1) ) = ( 12 - 32 ) - ( 34 - 12 ) = (-20) - ( 14 ) = -20.25 a :
Calculando :
Então:

Resposta

Somando todas as áreas:
Área Total = | -14 | + | -14 | + | -20.25 | = 14 + 14 + 20.25 = 20.75 Á
Portanto, a área da região entre a curva e o eixo no intervalo de a é unidades quadradas.

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