Determine a área da região entre a curva e o eixo no intervalo dado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a área da região entre a curva e o eixo no intervalo de de a . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente integração definida, que usamos para calcular áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender onde a curva cruza o eixo , ou seja, onde . Vamos resolver a equação :
Elevando ambos os lados ao cubo para eliminar a raiz:
Rearranjando:
Então, as curvas cruzam o eixo em , e .
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento da função no intervalo de a . Observamos que a função muda de sinal nesses pontos de interseção, o que significa que a área calculada deve considerar essas mudanças para garantir que estamos somando áreas positivas.
Passo 4
Vamos dividir o intervalo em partes onde a função está acima ou abaixo do eixo :
De a : está acima do eixo .
De a : está abaixo do eixo .
De a : está acima do eixo .
Isso nos ajuda a determinar os limites de integração e os sinais para cada parte da área.
Passo 5
A área total será a soma das áreas dessas três regiões. Para cada intervalo, vamos calcular a integral da função em relação a :
Note que subtraímos a segunda integral porque a função está abaixo do eixo nesse intervalo.
Passo 6
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira Integral:
Avaliar de a :
Segunda Integral:
Terceira Integral:
Avaliar de a :
Calculando :
Então:
Resposta
Somando todas as áreas:
Portanto, a área da região entre a curva e o eixo no intervalo de a é unidades quadradas.