Calcule as integrais definidas usando substituição.
integral-raiz7^0 x(x^2+1)^13 d x

Passo 1

Então, temos que calcular a integral definida . Vamos usar o método de substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas fazendo uma troca de variável.

Passo 2

Primeiro, escolhemos uma substituição adequada. Observando a expressão u = x^2 + 1 , percebemos que está dentro de uma função composta. Vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du = 2x , dx em termos de x , dx = du2 . Derivando em relação a :
Isso significa que:

Passo 4

Vamos reescrever a integral original em termos de integral-raiz7^0 x(x^2+1)^13 dx = integralu(-raiz7)^u(0) (u)^13 cdot du2 :

Passo 5

Calculamos os novos limites de integração substituindo u = (-raiz7)^2 + 1 = 7 + 1 = 8 e u = 0^2 + 1 = 1 na expressão :
  • Quando :
  • Quando :
Então, os novos limites são de a .

Passo 6

Agora, a integral fica:
integral8^1 u^13 cdot du2 = 12 integral8^1 u^13 du
Como o limite inferior é maior que o superior, podemos trocar os limites e mudar o sinal:
12 integral1^8 u^13 du

Passo 7

Vamos integrar integral u^13 du = u^4343 = 34 u^43 em relação a :
A integral de é . Aqui, , então:

Passo 8

Aplicamos os limites de integração:
12 [ 34 u^43 ]1^8 = 38 (8^43 - 1^43)
Calculando 8^13 = 2 Rightarrow 8^43 = 2^4 = 16 :
E .

Passo 9

Substituindo os valores:
38 (16 - 1) = 38 times 15 = 458

Resposta

O valor da integral definida é .

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