Calcule as integrais definidas usando substituição.
Passo 1
Então, temos que calcular a integral definida
. Vamos usar o método de substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas fazendo uma troca de variável.
Passo 2
Primeiro, escolhemos uma substituição adequada. Observando a expressão
, percebemos que
está dentro de uma função composta. Vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
em termos de
. Derivando
em relação a
:
Isso significa que:
Passo 4
Vamos reescrever a integral original em termos de
:
Passo 5
Calculamos os novos limites de integração substituindo
e
na expressão
:
- Quando
: - Quando
:
Então, os novos limites são de
a
.
Passo 6
Agora, a integral fica:
Como o limite inferior é maior que o superior, podemos trocar os limites e mudar o sinal:
Passo 7
Vamos integrar
em relação a
:
A integral de é
. Aqui,
, então:
A integral de
Passo 8
Aplicamos os limites de integração:
Calculando
:
E
.
Passo 9
Substituindo os valores:
Resposta
O valor da integral definida é
.
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Determine a área da região entre a curva e o eixo
no intervalo dado.
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