Calcule as integrais definidas usando substituição.

Passo 1

Então, temos que calcular a integral definida . Vamos usar o método de substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas fazendo uma troca de variável.

Passo 2

Primeiro, escolhemos uma substituição adequada. Observando a expressão , percebemos que está dentro de uma função composta. Vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar em termos de . Derivando em relação a :
Isso significa que:

Passo 4

Vamos reescrever a integral original em termos de :

Passo 5

Calculamos os novos limites de integração substituindo e na expressão :
  • Quando :
  • Quando :
Então, os novos limites são de a .

Passo 6

Agora, a integral fica:
Como o limite inferior é maior que o superior, podemos trocar os limites e mudar o sinal:

Passo 7

Vamos integrar em relação a :
A integral de é . Aqui, , então:

Passo 8

Aplicamos os limites de integração:
Calculando :
E .

Passo 9

Substituindo os valores:

Resposta

O valor da integral definida é .

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