Calcule as integrais definidas usando substituição.
integral0^pi2 e^sen(x) cos (x) d x

Passo 1

Vamos calcular a integral definida . Estamos trabalhando com cálculo de integrais, especificamente usando o método de substituição. Para resolver isso, precisamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável para simplificar o cálculo.

Passo 2

Observando a integral, vemos que temos multiplicado por . Note que a derivada de é , o que indica que podemos usar a substituição para facilitar a integral.

Passo 3

Vamos fazer a substituição dudx = cos(x) Rightarrow du = cos(x) , dx . Então, derivando ambos os lados em relação a , temos:
Isso significa que pode ser substituído por na integral.

Passo 4

Vamos também ajustar os limites de integração para a nova variável integral0^1 e^u , du :
  • Quando , .
  • Quando , .
Agora, a integral original se transforma em:

Passo 5

A integral de integral e^u , du = e^u + C em relação a é bem conhecida:
Como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos da constante de integração .

Passo 6

Aplicamos os limites de integração e^u g|0^1 = e^1 - e^0 = e - 1 e na antiderivada:

Resposta

A integral vale .

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