Calcule as integrais definidas usando substituição.
integral0^1 x^2raiz4-3 x d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral definida usando substituição:
integral0^1 x^2raiz4-3 x , dx
Aqui, o conteúdo principal é Cálculo de Integrais, mais especificamente, Integração por Substituição. Para resolver isso, vamos precisar escolher uma substituição que simplifique a integral, facilitando o cálculo.

Passo 2

Vamos começar escolhendo uma substituição adequada. Observando o denominador u = 4 - 3x , uma boa escolha é definir:
Esse tipo de substituição é útil quando parte da função dentro da raiz aparece também na derivada de outra parte da integral.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = -3 Rightarrow dx = -13 du em relação a para substituir . Calculando:
Isso nos ajuda a substituir na integral original.

Passo 4

Também precisamos expressar u = 4 - 3x Rightarrow 3x = 4 - u Rightarrow x = 4 - u3 em termos de para substituir na integral. Da definição de :
Agora temos todas as partes para fazer a substituição.

Passo 5

Substituindo integral0^1 x^2raiz4-3 x , dx = integralu(0)^u(1) (4 - u3)^2raizu (-13) du e u = 4 - 3(0) = 4 na integral original:
u = 4 - 3(1) = 1
Primeiro, precisamos ajustar os limites de integração:
Para -13 integral4^1 (4 - u3)^2raizu , du :
Para :
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos simplificar a integral:
-13 integral4^1 (4 - u)^29 raizu , du = -127 integral4^1 (4 - u)^2raizu , du
Podemos inverter os limites de integração e remover o sinal negativo:
127 integral1^4 (4 - u)^2raizu , du

Passo 7

Agora, expandimos (4 - u)^2 = 16 - 8u + u^2 :
127 integral1^4 16 - 8u + u^2raizu , du = 127 integral1^4 (16u^-1/2 - 8u^1/2 + u^3/2) , du
Substituindo de volta na integral:

Passo 8

Agora, integramos termo a termo:
integral u^-1/2 , du = 2u^1/2 + C
integral u^1/2 , du = 23u^3/2 + C
integral u^3/2 , du = 25u^5/2 + C
Aplicando isso na nossa integral:
127 [16 cdot 2u^1/2 - 8 cdot 23u^3/2 + 25u^5/2] g|1^4

Passo 9

Simplificando os coeficientes:
127 [32u^1/2 - 163u^3/2 + 25u^5/2] g|1^4
Agora, avaliamos essa expressão nos limites de 1 a 4.

Passo 10

Calculando para 32 cdot raiz4 = 32 cdot 2 = 64 :
-163 cdot (4)^3/2 = -163 cdot 8 = -1283
25 cdot (4)^5/2 = 25 cdot 32 = 645
64 - 1283 + 645
Então, para 32 cdot raiz1 = 32 :
-163 cdot 1 = -163
Calculando para 25 cdot 1 = 25 :
32 - 163 + 25
Então, para :

Passo 11

Vamos calcular a diferença:
(64 - 1283 + 645) - (32 - 163 + 25)
= 64 - 32 - (1283 - 163) + (645 - 25)
= 32 - 1123 + 625
Para somar esses termos, vamos encontrar um denominador comum, que é 15:
= 32 - 56015 + 18615
= 32 - 37415
Convertendo 32 para décimos de cinco:
32 = 48015
Então:
48015 - 37415 = 10615

Passo 12

Finalmente, multiplicamos pelo coeficiente que está fora da integral:
127 cdot 10615 = 106405
Portanto, a resposta final é:

Resposta

106405

Exercícios relacionados