Calcule as integrais definidas usando substituição.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral definida usando substituição:
Aqui, o conteúdo principal é Cálculo de Integrais, mais especificamente, Integração por Substituição. Para resolver isso, vamos precisar escolher uma substituição que simplifique a integral, facilitando o cálculo.

Passo 2

Vamos começar escolhendo uma substituição adequada. Observando o denominador , uma boa escolha é definir:
Esse tipo de substituição é útil quando parte da função dentro da raiz aparece também na derivada de outra parte da integral.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir . Calculando:
Isso nos ajuda a substituir na integral original.

Passo 4

Também precisamos expressar em termos de para substituir na integral. Da definição de :
Agora temos todas as partes para fazer a substituição.

Passo 5

Substituindo e na integral original:
Primeiro, precisamos ajustar os limites de integração:
Para :
Para :
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos simplificar a integral:
Podemos inverter os limites de integração e remover o sinal negativo:

Passo 7

Agora, expandimos :
Substituindo de volta na integral:

Passo 8

Agora, integramos termo a termo:
Aplicando isso na nossa integral:

Passo 9

Simplificando os coeficientes:
Agora, avaliamos essa expressão nos limites de 1 a 4.

Passo 10

Calculando para :
Então, para :
Calculando para :
Então, para :

Passo 11

Vamos calcular a diferença:
Para somar esses termos, vamos encontrar um denominador comum, que é 15:
Convertendo 32 para décimos de cinco:
Então:

Passo 12

Finalmente, multiplicamos pelo coeficiente que está fora da integral:
Portanto, a resposta final é:

Resposta

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