Calcule as integrais definidas usando substituição.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral definida usando substituição:
Aqui, o conteúdo principal é Cálculo de Integrais, mais especificamente, Integração por Substituição. Para resolver isso, vamos precisar escolher uma substituição que simplifique a integral, facilitando o cálculo.
Passo 2
Vamos começar escolhendo uma substituição adequada. Observando o denominador , uma boa escolha é definir:
Esse tipo de substituição é útil quando parte da função dentro da raiz aparece também na derivada de outra parte da integral.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir . Calculando:
Isso nos ajuda a substituir na integral original.
Passo 4
Também precisamos expressar em termos de para substituir na integral. Da definição de :
Agora temos todas as partes para fazer a substituição.
Passo 5
Substituindo e na integral original:
Primeiro, precisamos ajustar os limites de integração:
Para :
Para :
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos simplificar a integral:
Podemos inverter os limites de integração e remover o sinal negativo:
Passo 7
Agora, expandimos :
Substituindo de volta na integral:
Passo 8
Agora, integramos termo a termo:
Aplicando isso na nossa integral:
Passo 9
Simplificando os coeficientes:
Agora, avaliamos essa expressão nos limites de 1 a 4.
Passo 10
Calculando para :
Então, para :
Calculando para :
Então, para :
Passo 11
Vamos calcular a diferença:
Para somar esses termos, vamos encontrar um denominador comum, que é 15:
Convertendo 32 para décimos de cinco:
Então:
Passo 12
Finalmente, multiplicamos pelo coeficiente que está fora da integral: