Determine a área da região entre a curva e o eixo no intervalo dado.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a curva definida por e precisamos encontrar a área entre essa curva e o eixo no intervalo de até . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, que nos ajudam a calcular áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar os cálculos:
Passo 3
Observe que, nesse intervalo de a , a função pode ficar acima ou abaixo do eixo . Para saber onde isso acontece, vamos encontrar os pontos onde a função cruza o eixo , ou seja, onde :
Passo 4
Então, a função cruza o eixo em . Isso significa que:
De a , a função está abaixo do eixo (valores negativos).
De a , a função está acima do eixo (valores positivos).
Passo 5
Para calcular a área total, precisamos considerar essas duas partes separadamente e somar os valores absolutos. A área será dada por:
Como de a , é negativo, o valor absoluto muda o sinal:
Á
Passo 6
Agora, vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral:
Calculando:
Como multiplicamos por -1:
Segunda integral:
Calculando:
Passo 7
Agora, somamos as duas áreas calculadas:
Á
Podemos simplificar ainda mais usando propriedades dos logaritmos:
Resposta
A área da região entre a curva e o eixo no intervalo é unidades de área.