Determine a área da região entre a curva e o eixo x no intervalo dado.
y=x-2x ;[1,3]

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a curva definida por e precisamos encontrar a área entre essa curva e o eixo no intervalo de até . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, que nos ajudam a calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar os cálculos:
y = x-2x = xx - 2x = 1 - 2x

Passo 3

Observe que, nesse intervalo de 1 - 2x = 0 implies 2x = 1 implies x = 2 a , a função pode ficar acima ou abaixo do eixo . Para saber onde isso acontece, vamos encontrar os pontos onde a função cruza o eixo , ou seja, onde :

Passo 4

Então, a função cruza o eixo em . Isso significa que:
  • De a , a função está abaixo do eixo (valores negativos).
  • De a , a função está acima do eixo (valores positivos).

Passo 5

Para calcular a área total, precisamos considerar essas duas partes separadamente e somar os valores absolutos. A área será dada por:
Área = integral1^2 | x-2x | dx + integral2^3 | x-2x | dx Á
Como de Área = -integral1^2 x-2x dx + integral2^3 x-2x dx a , é negativo, o valor absoluto muda o sinal:
Á

Passo 6

Agora, vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral:
integral1^2 x-2x dx = integral1^2 (1 - 2x) dx = integral1^2 1 , dx - 2 integral1^2 1x dx
Calculando:
= [x]1^2 - 2 [ln|x|]1^2 = (2 - 1) - 2 (ln 2 - ln 1) = 1 - 2 ln 2
Como multiplicamos por -1:
- (1 - 2 ln 2) = -1 + 2 ln 2
Segunda integral:
integral2^3 x-2x dx = integral2^3 (1 - 2x) dx = integral2^3 1 , dx - 2 integral2^3 1x dx
Calculando:
= [x]2^3 - 2 [ln x]2^3 = (3 - 2) - 2 (ln 3 - ln 2) = 1 - 2 ln 3 + 2 ln 2

Passo 7

Agora, somamos as duas áreas calculadas:
Área total = (-1 + 2 ln 2) + (1 - 2 ln 3 + 2 ln 2) = 4 ln 2 - 2 ln 3 Á
Podemos simplificar ainda mais usando propriedades dos logaritmos:
4 ln 2 - 2 ln 3 = 2 (2 ln 2 - ln 3) = 2 ln ( 2^23 ) = 2 ln ( 43 )

Resposta

A área da região entre a curva e o eixo no intervalo é unidades de área.

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