Determine a área da região entre a curva e o eixo no intervalo dado.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a curva definida por e precisamos encontrar a área entre essa curva e o eixo no intervalo de até . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, que nos ajudam a calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar os cálculos:

Passo 3

Observe que, nesse intervalo de a , a função pode ficar acima ou abaixo do eixo . Para saber onde isso acontece, vamos encontrar os pontos onde a função cruza o eixo , ou seja, onde :

Passo 4

Então, a função cruza o eixo em . Isso significa que:
  • De a , a função está abaixo do eixo (valores negativos).
  • De a , a função está acima do eixo (valores positivos).

Passo 5

Para calcular a área total, precisamos considerar essas duas partes separadamente e somar os valores absolutos. A área será dada por:
Á
Como de a , é negativo, o valor absoluto muda o sinal:
Á

Passo 6

Agora, vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral:
Calculando:
Como multiplicamos por -1:
Segunda integral:
Calculando:

Passo 7

Agora, somamos as duas áreas calculadas:
Á
Podemos simplificar ainda mais usando propriedades dos logaritmos:

Resposta

A área da região entre a curva e o eixo no intervalo é unidades de área.

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