Calcule as integrais definidas usando substituição.
integral-1^1 5 x(4+x^2)^2 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral definida usando o método de substituição. Isso envolve entender como simplificar a integral escolhendo uma parte dela para substituir por uma nova variável, facilitando o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir. Observando o denominador , uma boa escolha é definir . Isso simplifica a expressão e facilita a integração.

Passo 3

Agora, calculamos a derivada de du = ddx(4 + x^2) , dx = 2x , dx em relação a para encontrar :

Passo 4

Precisamos expressar x , dx = du2 em termos de . Da equação anterior, temos:

Passo 5

Substituímos integral-1^1 5x(4 + x^2)^2 , dx = integralu(-1)^u(1) 5 cdot du2u^2 = 52 integralu(-1)^u(1) u^-2 , du e na integral original:

Passo 6

Determina os novos limites de integração. Quando u = 4 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5 :
u = 4 + (1)^2 = 4 + 1 = 5
Quando :

Passo 7

Observamos que os limites de integração são iguais ( a ). Uma integral com os mesmos limites é igual a zero.

Resposta

integral-1^1 5x(4 + x^2)^2 , dx = 0

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