Calcule as integrais definidas usando substituição.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral definida usando o método de substituição. Aqui, estamos lidando com integração, especificamente com integrais racionais. Para resolver, vamos usar uma substituição que simplifique a expressão dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, escolhemos uma substituição adequada. Vamos deixar . Isso vai simplificar o denominador da fração.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a diferencial . Derivando em relação a , temos:

Passo 4

Também precisamos ajustar os limites de integração para a variável . Quando :
E quando :
Então, a integral agora vai de até .

Passo 5

Substituindo e na integral original, temos:
Aqui, simplificamos a integral reduzindo-a a uma forma mais fácil de resolver.

Passo 6

A integral de em relação a é . Então, continuando:

Passo 7

Simplificando os logaritmos, lembrando que :
Então:

Resposta

O valor da integral é .

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Calcule pela definição