Calcule as integrais definidas usando substituição.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral definida
usando o método de substituição. Aqui, estamos lidando com integração, especificamente com integrais racionais. Para resolver, vamos usar uma substituição que simplifique a expressão dentro da integral.
Passo 2
Primeiro, escolhemos uma substituição adequada. Vamos deixar
. Isso vai simplificar o denominador da fração.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a diferencial
. Derivando
em relação a
, temos:
Passo 4
Também precisamos ajustar os limites de integração para a variável
. Quando
:
E quando
:
Então, a integral agora vai de
até
.
Passo 5
Substituindo
e
na integral original, temos:
Aqui, simplificamos a integral reduzindo-a a uma forma mais fácil de resolver.
Passo 6
A integral de
em relação a
é
. Então, continuando:
Passo 7
Simplificando os logaritmos, lembrando que
:
Então:
Resposta
O valor da integral é
.
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Calcule
sendo
dada por
Calcule
pela definição