Calcule as integrais definidas usando substituição.
integral0^e 12 x+e d x

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral definida usando o método de substituição. Aqui, estamos lidando com integração, especificamente com integrais racionais. Para resolver, vamos usar uma substituição que simplifique a expressão dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, escolhemos uma substituição adequada. Vamos deixar . Isso vai simplificar o denominador da fração.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a diferencial dudx = 2 Rightarrow du = 2 , dx Rightarrow dx = du2 . Derivando em relação a , temos:

Passo 4

Também precisamos ajustar os limites de integração para a variável u = 2(0) + e = e . Quando u = 2(e) + e = 3e :
E quando :
Então, a integral agora vai de até .

Passo 5

Substituindo integral0^e 12x + e , dx = integrale^3e 1u cdot du2 = 12 integrale^3e 1u , du e na integral original, temos:
Aqui, simplificamos a integral reduzindo-a a uma forma mais fácil de resolver.

Passo 6

A integral de 12 integrale^3e 1u , du = 12 [ ln|u| ]e^3e = 12 ( ln(3e) - ln(e) ) em relação a é . Então, continuando:

Passo 7

Simplificando os logaritmos, lembrando que ln(3e) = ln 3 + ln e = ln 3 + 1 e ln(e) = 1 :
12 ( (ln 3 + 1) - 1 ) = 12 ln 3
Então:

Resposta

O valor da integral é .

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