Calcule as integrais definidas usando substituição.
integral0^2 pi cos (x)raiz4+3 sen(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida:
integral0^2 pi cos (x)raiz4+3 sin(x) , dx
Aqui, estamos trabalhando com cálculo, especificamente com integrais usando o método de substituição. Para resolver isso, vamos precisar escolher uma função para substituir na integral que simplifique a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma nova variável. Observando o denominador u = 4 + 3 sin(x) , uma boa estratégia é escolher o que está dentro da raiz para fazer a substituição. Vamos definir:
Essa escolha vai facilitar a integração porque a derivada de em relação a aparecerá na expressão original.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de dudx = 3 cos(x) em relação a cos(x) , dx = du3 :
integral cos(x)raiz4 + 3 sin(x) , dx = integral 1raizu cdot du3 = 13 integral u^-1/2 , du
Isso nos dá:
Substituindo e na integral original, temos:

Passo 4

Agora, vamos integrar 13 integral u^-1/2 , du = 13 cdot 2 u^1/2 + C = 23 raizu + C :
Mas como estamos lidando com uma integral definida de a , vamos calcular os limites de integração para .

Passo 5

Vamos calcular os limites de u = 4 + 3 sin(0) = 4 + 0 = 4 quando u = 4 + 3 sin(2pi) = 4 + 0 = 4 e :
  • Quando :
  • Quando :
Então, os limites de integração para são ambos 4.

Passo 6

Substituindo os limites na expressão integrada:
23 raizu |4^4 = 23 (raiz4 - raiz4) = 23 (2 - 2) = 23 times 0 = 0

Resposta

O valor da integral definida é 0.

Exercícios relacionados