Calcule as integrais indefinidas abaixo usando o método de integração por substituição.
(g) I=integral(e^raizxraizx+1raizx e^raizx) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral indefinida usando o método de integração por substituição. O que vamos precisar aqui é identificar uma parte da função que, ao substituir por uma variável nova, simplifique a integral. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a integral que temos:
I = integral(e^raizxraizx + 1raizx e^raizx) dx
Podemos reescrever isso para facilitar a visualização:
I = integral ( e^raizx + e^-raizx ) cdot 1raizx dx

Passo 3

Agora, vamos escolher uma substituição que simplify essa expressão. Observamos que temos u = raizx nas potências e também no denominador. Então, podemos definir:
x = u^2
Isso significa que:

Passo 4

Precisamos também encontrar dx = 2u , du em termos de . Diferenciando ambos os lados da equação :

Passo 5

Vamos substituir 1raizx dx = 1u cdot 2u , du = 2 , du e I = integral ( e^u + e^-u ) cdot 2 , du na integral original:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, podemos fatorar o 2 fora da integral:
I = 2 integral ( e^u + e^-u ) du

Passo 7

Vamos integrar termo a termo:
integral e^u du = e^u + C1
integral e^-u du = -e^-u + C2
Juntando tudo:
I = 2 ( e^u - e^-u ) + C
Onde é uma constante de integração.

Passo 8

Agora, substituímos I = 2 ( e^raizx - e^-raizx ) + C de volta na expressão:

Resposta

I = 2 e^raizx - 2 e^-raizx + C

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