Use o método de integração por partes para calcular as integrais indefinidas abaixo:
(a) I=integral x sin (2 x-1) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida usando o método de integração por partes. Esse método é útil quando temos o produto de duas funções, como aqui temos e . Para aplicar a integração por partes, precisamos identificar partes da função que serão diferenciadas e integradas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, escolhemos qual parte será u = x e dv = sin(2x - 1) , dx e qual será . Geralmente, escolhemos como a parte que fica mais simples quando derivada. No nosso caso, vamos deixar:

Passo 3

Agora, vamos calcular du = ddx(x) , dx = 1 , dx e v = integral sin(2x - 1) , dx . Para v = integral sin(w) cdot dw2 = 12 integral sin(w) , dw = -12 cos(w) + C = -12 cos(2x - 1) + C , derivamos :
Para encontrar , precisamos integrar :
Para integrar , fazemos uma substituição simples. Seja , então ou . Assim:
Como estamos lidando com integrais indefinidas, podemos ignorar a constante de integração nesse passo.

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
I = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
I = x ( -12 cos(2x - 1) ) - integral ( -12 cos(2x - 1) ) cdot 1 , dx
Simplificando:
I = -x2 cos(2x - 1) + 12 integral cos(2x - 1) , dx

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral integral cos(2x - 1) , dx = integral cos(w) cdot dw2 = 12 integral cos(w) , dw = 12 sin(w) + C = 12 sin(2x - 1) + C . Novamente, fazemos uma substituição:
Seja , então ou .
Então:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão de I = -x2 cos(2x - 1) + 12 ( 12 sin(2x - 1) ) + C :
I = -x2 cos(2x - 1) + 14 sin(2x - 1) + C
Simplificando os coeficientes:

Resposta

integral x sin(2x - 1) , dx = -x2 cos(2x - 1) + 14 sin(2x - 1) + C

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