Use o método de integração por partes para calcular as integrais indefinidas abaixo:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral indefinida
usando o método de integração por partes. Esse método é útil quando temos o produto de duas funções, como aqui temos
e
. Para aplicar a integração por partes, precisamos identificar partes da função que serão diferenciadas e integradas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, escolhemos qual parte será
e qual será
. Geralmente, escolhemos
como a parte que fica mais simples quando derivada. No nosso caso, vamos deixar:
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
. Para
, derivamos
:
Para encontrar
, precisamos integrar
:
Para integrar
, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
ou
. Assim:
Como estamos lidando com integrais indefinidas, podemos ignorar a constante de integração nesse passo.
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a integral
. Novamente, fazemos uma substituição:
Seja
, então
ou
.
Então:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão de
:
Simplificando os coeficientes:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule as integrais indefinidas abaixo usando o método de integração por substituição.
(g)
(g)
Calcule as integrais indefinidas abaixo usando o método de integração por substituição.
(f)
(f)
Resolva analiticamente e também numericamente, usando o método de Euler, o PVI a seguir:
-
. Considere e .
Compare os resultados obtidos usando uma tabela.
Use o método de integração por partes para calcular as integrais indefinidas abaixo:
(b)
(b)