Calcule as integrais indefinidas abaixo usando o método de integração por substituição.
(e) I=integral(e^-5 x+2^5 x) d x

Passo 1

Então, o que a questão está pedindo é calcular a integral indefinida de em relação a . Vamos usar o método de substituição, que é uma técnica de integração onde fazemos uma mudança de variável para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes:
I = integral e^-5x , dx + integral 2^5x , dx

Passo 3

Vamos resolver a primeira integral: du = -5 , dx Rightarrow dx = -15 , du .
Aqui, a função dentro da integral é . A constante no expoente (-5) nos sugere usar uma substituição.
Seja . Então, derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Substituindo na integral:
integral e^u cdot (-15) du = -15 integral e^u , du
Sabemos que a integral de -15 e^u + C em relação a -15 e^-5x + C é , então:
Voltando à variável original :

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda integral: integral a^u , du = a^uln a + C .
Aqui, a base é 2 elevada a . Para integrar funções exponenciais com base diferente de , usamos a fórmula:
onde é a base da exponencial.

Passo 6

Aplicando essa fórmula:
integral 2^5x , dx
Vamos fazer uma substituição:
Seja integral 2^u cdot 15 , du = 15 integral 2^u , du = 15 cdot 2^uln 2 + C = 2^5x5 ln 2 + C . Então, , ou seja, .
Substituindo na integral:

Passo 7

Finalmente, juntando as duas integrais:
I = -15 e^-5x + 2^5x5 ln 2 + C

Resposta

A integral é:
I = -15 e^-5x + 2^5x5 ln 2 + C

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