Resolva analiticamente e também numericamente, usando o método de Euler, o PVI a seguir:
. Considere e .
Compare os resultados obtidos usando uma tabela.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema envolvendo uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. A equação é com a condição inicial . Nosso objetivo é resolver essa equação de duas formas: analiticamente e numericamente usando o Método de Euler. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e como o Método de Euler funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação analiticamente. A equação dada é uma equação diferencial de primeira ordem e não linear por causa do termo . Para resolver, podemos usar o método de separação de variáveis. Reescrevemos a equação como:
Vamos fatorar o lado direito:
Agora, separamos as variáveis e :
Para integrar o lado esquerdo, usamos frações parciais:
Resolvendo para e , encontramos e . Então,
Integrando ambos os lados:
Multiplicando tudo por 4:
Exponenciando ambos os lados:
Resolvendo para :
Aplicando a condição inicial :
Portanto, a solução analítica é:
Passo 3
Agora, vamos para a segunda parte: resolver numericamente usando o Método de Euler com passo e iterações. O Método de Euler é uma técnica simples para aproximar soluções de equações diferenciais. Basicamente, a gente usa a inclinação da função no ponto atual para estimar o próximo ponto.
A fórmula do Método de Euler é:
Onde .
Vamos montar uma tabela passo a passo:
Passo 4
Vamos iniciar com e .
Continuando esse processo até :
E assim por diante, repetindo até .
Passo 5
Depois de calcular todos os valores, vamos comparar as soluções analítica e numérica em uma tabela para ver quão perto elas estão uma da outra. A tabela vai mostrar os valores de , a solução analítica , e a solução pelo Método de Euler.
Resposta
A solução analítica da equação diferencial é . Utilizando o Método de Euler com passo e , obtivemos os valores aproximados de em cada passo. A tabela comparativa mostra que os resultados numéricos estão próximos da solução analítica, demonstrando a eficácia do Método de Euler para resolver esse tipo de equação diferencial.