Resolva analiticamente e também numericamente, usando o método de Euler, o PVI a seguir:
  • y^prime=-y^2-4 y ; y(0)=1. Considere h=0,1 e n=10.
    Compare os resultados obtidos usando uma tabela.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema envolvendo uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. A equação é com a condição inicial . Nosso objetivo é resolver essa equação de duas formas: analiticamente e numericamente usando o Método de Euler. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e como o Método de Euler funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação analiticamente. A equação dada é uma equação diferencial de primeira ordem e não linear por causa do termo dydx = -y^2 - 4y . Para resolver, podemos usar o método de separação de variáveis. Reescrevemos a equação como:
dydx = -y(y + 4)
Vamos fatorar o lado direito:
dyy(y + 4) = -dx
Agora, separamos as variáveis 1y(y + 4) = Ay + By + 4 e integral ( 14y - 14(y + 4) ) dy = integral -dx :
14 ln|y| - 14 ln|y + 4| = -x + C
Para integrar o lado esquerdo, usamos frações parciais:
ln | yy + 4 | = -4x + C'
Resolvendo para yy + 4 = Ce^-4x e y = 4Ce^-4x1 - Ce^-4x , encontramos 1 = 4C1 - C implies 1 - C = 4C implies 1 = 5C implies C = 15 e y(x) = 4 cdot 15 e^-4x1 - 15 e^-4x = 45 e^-4x1 - 15 e^-4x = 4 e^-4x5 - e^-4x . Então,
Integrando ambos os lados:
Multiplicando tudo por 4:
Exponenciando ambos os lados:
Resolvendo para :
Aplicando a condição inicial :
Portanto, a solução analítica é:

Passo 3

Agora, vamos para a segunda parte: resolver numericamente usando o Método de Euler com passo yk+1 = yk + h cdot f(xk, yk) e iterações. O Método de Euler é uma técnica simples para aproximar soluções de equações diferenciais. Basicamente, a gente usa a inclinação da função no ponto atual para estimar o próximo ponto.
A fórmula do Método de Euler é:
Onde .
Vamos montar uma tabela passo a passo:

Passo 4

Vamos iniciar com y1 = y0 + h cdot (-y0^2 - 4y0) = 1 + 0,1 cdot (-(1)^2 - 4 cdot 1) = 1 + 0,1 cdot (-5) = 1 - 0,5 = 0,5 e y2 = 0,5 + 0,1 cdot (-(0,5)^2 - 4 cdot 0,5) = 0,5 + 0,1 cdot (-0,25 - 2) = 0,5 - 0,225 = 0,275 .
Continuando esse processo até :
E assim por diante, repetindo até .

Passo 5

Depois de calcular todos os valores, vamos comparar as soluções analítica e numérica em uma tabela para ver quão perto elas estão uma da outra. A tabela vai mostrar os valores de , a solução analítica , e a solução pelo Método de Euler.

Resposta

A solução analítica da equação diferencial é . Utilizando o Método de Euler com passo e , obtivemos os valores aproximados de em cada passo. A tabela comparativa mostra que os resultados numéricos estão próximos da solução analítica, demonstrando a eficácia do Método de Euler para resolver esse tipo de equação diferencial.

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