Calcule as integrais indefinidas abaixo usando o método de integração por substituição.
(f) I=integral sin (x3)2+cos (x3) d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa calcular a integral indefinida usando o método de integração por substituição. Esse método é super útil quando a integral parece complicada, mas dá pra simplificar fazendo uma troca de variável. Vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Olhando para o denominador u = 2 + cos(x3) , percebemos que a derivada de é , que aparece no numerador, exceto pelo sinal e pelo fator . Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de dudx = -13sin(x3) em relação a du = -13sin(x3) dx para encontrar Rightarrow sin(x3) dx = -3, du :
Então, rearranjando para :

Passo 4

Vamos substituir I = integral sin (x3)2 + cos (x3) dx = integral -3, duu e I = -3 integral 1u du na integral original:
Simplificando:

Passo 5

A integral de I = -3 ln |u| + C em relação a é o logaritmo natural de . Então:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos voltar à variável original substituindo I = -3 ln |2 + cos(x3)| + C por :

Resposta

A integral é igual a:
I = -3 ln |2 + cos(x3)| + C

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