Calcule as integrais indefinidas abaixo usando o método de integração por substituição.
(f)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa calcular a integral indefinida usando o método de integração por substituição. Esse método é super útil quando a integral parece complicada, mas dá pra simplificar fazendo uma troca de variável. Vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Olhando para o denominador , percebemos que a derivada de é , que aparece no numerador, exceto pelo sinal e pelo fator . Então, vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada de em relação a para encontrar :
Então, rearranjando para :
Passo 4
Vamos substituir e na integral original:
Simplificando:
Passo 5
A integral de em relação a é o logaritmo natural de . Então:
Onde é a constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos voltar à variável original substituindo por :