Calcule as integrais indefinidas abaixo usando o método de integração por substituição.
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa calcular a integral indefinida
usando o método de integração por substituição. Esse método é super útil quando a integral parece complicada, mas dá pra simplificar fazendo uma troca de variável. Vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável
para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Olhando para o denominador
, percebemos que a derivada de
é
, que aparece no numerador, exceto pelo sinal e pelo fator
. Então, vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada de
em relação a
para encontrar
:
Então, rearranjando para
:
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original:
Simplificando:
Passo 5
A integral de
em relação a
é o logaritmo natural de
. Então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos voltar à variável original substituindo
por
:
Resposta
A integral é igual a: