Use integral tripla para calcular volume do sólido delimitado pelo cilindro e pelos planos . Esboce o sólido.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo que pede pra calcular o volume de um sólido usando integrais triplas. O sólido é delimitado pelo cilindro e pelos planos e . Pra resolver isso, vamos precisar entender como montar as integrais triplas e definir bem os limites de integração com base nessas superfícies que delimitam o sólido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as superfícies que delimitam o sólido. O cilindro é uma parábola que se estende ao longo do eixo z. O plano é o plano xy, e o plano inclina-se acima do plano xy. Nosso objetivo é encontrar a região tridimensional que fica dentro dessas superfícies.

Passo 3

Vamos determinar os limites de integração para , e . Para , ele varia de 0 até (já que ). Para , como está limitado pelo cilindro e pelo plano , precisamos ver até onde vai. Quando , vai até 4, então varia de até 4. Por fim, para , observamos que o cilindro é simétrico em relação ao eixo y, então varia de a , já que e vai até 4.

Passo 4

Agora, vamos montar a integral tripla com esses limites:
Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:
Integrando em relação a :
Por fim, integramos em relação a :
Devido à simetria da função em torno do eixo y, podemos simplificar calculando o dobro da integral de 0 a 2:
Calculando isso:
Convertendo para denominador 15:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Determine o volume do sólido que se encontra: $a) Abaixo do paraboloide e acima da região limitada pelas curvas e .$
Calcule a integral dupla, esboce e destaque a região plana de integração:
Calcule a integral iterada:
a)
b)
c)
: a) 0
b)
Calcule as integrais iteradas, esboce e destaque as regiões planas de integração: