Use integral tripla para calcular volume do sólido delimitado pelo cilindro y=x^2 e pelos planos y+z=4 e z=0. Esboce o sólido.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo que pede pra calcular o volume de um sólido usando integrais triplas. O sólido é delimitado pelo cilindro e pelos planos e . Pra resolver isso, vamos precisar entender como montar as integrais triplas e definir bem os limites de integração com base nessas superfícies que delimitam o sólido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as superfícies que delimitam o sólido. O cilindro é uma parábola que se estende ao longo do eixo z. O plano é o plano xy, e o plano inclina-se acima do plano xy. Nosso objetivo é encontrar a região tridimensional que fica dentro dessas superfícies.

Passo 3

Vamos determinar os limites de integração para , e . Para , ele varia de 0 até (já que ). Para , como está limitado pelo cilindro e pelo plano , precisamos ver até onde vai. Quando , vai até 4, então varia de até 4. Por fim, para , observamos que o cilindro é simétrico em relação ao eixo y, então varia de a , já que e vai até 4.

Passo 4

Agora, vamos montar a integral tripla com esses limites:
V = integral-2^2 integralx^2^4 integral0^4 - y dz , dy , dx
Primeiro, integramos em relação a integral0^4 - y dz = (4 - y) - 0 = 4 - y :
V = integral-2^2 integralx^2^4 (4 - y) , dy , dx
Então, a integral fica:
integralx^2^4 (4 - y) , dy = [4y - y^22]x^2^4 = (16 - 8) - (4x^2 - x^42) = 8 - 4x^2 + x^42
Integrando em relação a V = integral-2^2 (8 - 4x^2 + x^42) dx :
V = 2 integral0^2 (8 - 4x^2 + x^42) dx = 2 [8x - 4x^33 + x^510]0^2
Por fim, integramos em relação a V = 2 (16 - 323 + 3210) = 2 (16 - 323 + 165) :
V = 2 (24015 - 16015 + 4815) = 2 (12815) = 25615
Devido à simetria da função em torno do eixo y, podemos simplificar calculando o dobro da integral de 0 a 2:
Calculando isso:
Convertendo para denominador 15:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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