Use integral tripla para calcular volume do sólido delimitado pelo cilindro
e pelos planos
. Esboce o sólido.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo que pede pra calcular o volume de um sólido usando integrais triplas. O sólido é delimitado pelo cilindro
e pelos planos
e
. Pra resolver isso, vamos precisar entender como montar as integrais triplas e definir bem os limites de integração com base nessas superfícies que delimitam o sólido.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as superfícies que delimitam o sólido. O cilindro
é uma parábola que se estende ao longo do eixo z. O plano
é o plano xy, e o plano
inclina-se acima do plano xy. Nosso objetivo é encontrar a região tridimensional que fica dentro dessas superfícies.
Passo 3
Vamos determinar os limites de integração para
,
e
. Para
, ele varia de 0 até
(já que
). Para
, como está limitado pelo cilindro
e pelo plano
, precisamos ver até onde
vai. Quando
,
vai até 4, então
varia de
até 4. Por fim, para
, observamos que o cilindro
é simétrico em relação ao eixo y, então
varia de
a
, já que
e
vai até 4.
Passo 4
Agora, vamos montar a integral tripla com esses limites:
Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Integrando em relação a
:
Por fim, integramos em relação a
:
Devido à simetria da função em torno do eixo y, podemos simplificar calculando o dobro da integral de 0 a 2:
Calculando isso:
Convertendo para denominador 15:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Determine o volume do sólido que se encontra: $a) Abaixo do paraboloide
e acima da região limitada pelas curvas
e
.$
Calcule a integral dupla, esboce e destaque a região plana de integração:
Calcule a integral iterada:
a)
b)
c)
: a) 0
b)
a)
b)
c)
b)
Calcule as integrais iteradas, esboce e destaque as regiões planas de integração: