Calcule as integrais a seguir pela regra dos Trapézios repetida e pela regra de Simpson repetida, usando 4 e 6 divisões de [a, b]. Compare os resultados:
a) integral1^2 e^x d x
b) integral1^4 raizx d x
c) integral2^14 1raizx d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular três integrais usando a regra dos Trapézios e a regra de Simpson, com 4 e 6 divisões no intervalo . Hoje, vamos focar na primeira parte:
a)
Vamos precisar entender as duas regras de integração numérica e como aplicá-las com diferentes números de divisões. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as regras dos Trapézios e de Simpson:
  • Regra dos Trapézios: Aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo em trapézios e somando suas áreas.
    A fórmula geral para Tn = h2 [ f(x0) + 2 sumi=1^n-1 f(xi) + f(xn) ] subintervalos é:
    Sn = h3 [ f(x0) + 4 sumímpar i f(xi) + 2 sumpar i f(xi) + f(xn) ]
  • Regra de Simpson: Usa parábolas para aproximar a área sob a curva, proporcionando maior precisão.
    A fórmula geral para h = b - an subintervalos (onde deve ser par) é:
    í
Aqui, é o tamanho de cada subintervalo, dado por:
Vamos calcular para e .

Passo 3

Calculando com 4 divisões ( h = 2 - 14 = 14 = 0,25 )
Primeiro, encontramos x0 = 1, x1 = 1,25, x2 = 1,5, x3 = 1,75, x4 = 2 :
f(x0) &= e^1 approx 2,7183 f(x1) &= e^1,25 approx 3,4903 f(x2) &= e^1,5 approx 4,4817 f(x3) &= e^1,75 approx 5,7546 f(x4) &= e^2 approx 7,3891
Agora, determinamos os pontos T4 = 0,252 [ 2,7183 + 2(3,4903 + 4,4817 + 5,7546) + 7,3891 ] :
T4 = 0,125 [ 2,7183 + 2(13,7266) + 7,3891 ] = 0,125 [ 2,7183 + 27,4532 + 7,3891 ] = 0,125 times 37,5606 approx 4,6951
Calculamos S4 = 0,253 [ 2,7183 + 4(3,4903 + 5,7546) + 2(4,4817) + 7,3891 ] :
S4 = 0,253 [ 2,7183 + 4(9,2449) + 8,9634 + 7,3891 ] = 0,253 [ 2,7183 + 36,9796 + 8,9634 + 7,3891 ] = 0,253 times 55,0504 approx 4,5875
Regra dos Trapézios:
Regra de Simpson:

Passo 4

Calculando com 6 divisões ( h = 2 - 16 = 16 approx 0,1667 )
Primeiro, encontramos x0 = 1, x1 approx 1,1667, x2 approx 1,3333, x3 approx 1,5, x4 approx 1,6667, x5 approx 1,8333, x6 = 2 :
f(x0) &= e^1 approx 2,7183 f(x1) &= e^1,1667 approx 3,2135 f(x2) &= e^1,3333 approx 3,7937 f(x3) &= e^1,5 approx 4,4817 f(x4) &= e^1,6667 approx 5,2958 f(x5) &= e^1,8333 approx 6,2526 f(x6) &= e^2 approx 7,3891
Determina-se os pontos T6 = 0,16672 [ 2,7183 + 2(3,2135 + 3,7937 + 4,4817 + 5,2958 + 6,2526) + 7,3891 ] :
T6 approx 0,08335 [ 2,7183 + 2(22,0373) + 7,3891 ] = 0,08335 [ 2,7183 + 44,0746 + 7,3891 ] = 0,08335 times 54,181 approx 4,5151
Calculamos S6 = 0,16673 [ 2,7183 + 4(3,2135 + 4,4817 + 6,2526) + 2(3,7937 + 5,2958) + 7,3891 ] :
S6 approx 0,05556 [ 2,7183 + 4(13,9478) + 2(9,0895) + 7,3891 ] = 0,05556 [ 2,7183 + 55,7912 + 18,179 + 7,3891 ] = 0,05556 times 83,077 approx 4,6103
Regra dos Trapézios:
Regra de Simpson:

Passo 5

Comparando os resultados:
Método 4 Divisões ( ) 6 Divisões ( )
Trapézios 4,6951 4,5151
Simpson 4,5875 4,6103
Vemos que, aumentando o número de divisões, os valores das integrais aproximadas se aproximam mais do valor real da integral.

Resposta

Ao calcular a integral utilizando a regra dos Trapézios e a regra de Simpson com 4 e 6 divisões, obtivemos os seguintes resultados:
  • Regra dos Trapézios:
    • 4 divisões: aproximadamente 4,6951
    • 6 divisões: aproximadamente 4,5151
  • Regra de Simpson:
    • 4 divisões: aproximadamente 4,5875
    • 6 divisões: aproximadamente 4,6103
Esses valores mostram que, com mais divisões, as aproximacões tendem a se tornar mais precisas.

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