Dada a tabela abaixo, calcule uma aproximação para e^3.1 usando um polinômio de grau 2 .
x 2.8 3.0 3.2
e^x 16.44 20.08 24.53

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede pra calcular uma aproximação de usando um polinômio de grau 2. A tabela que a gente tem mostra os valores de para , e . Esse tipo de problema está dentro do conteúdo de Interpolação Polinomial, onde a gente usa pontos conhecidos para estimar o valor de uma função em um ponto próximo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um polinômio de grau 2. É uma equação da forma , onde , e são constantes que a gente precisa encontrar. A ideia é que esse polinômio passe exatamente pelos três pontos que a gente tem na tabela. Assim, vamos montar um sistema de equações para descobrir esses coeficientes.

Passo 3

Vamos usar os valores da tabela para criar as equações. Sabemos que:
P(2.8) = 16.44 P(3.0) = 20.08 P(3.2) = 24.53
Substituindo na forma geral do polinômio:
a(2.8)^2 + b(2.8) + c = 16.44 a(3.0)^2 + b(3.0) + c = 20.08 a(3.2)^2 + b(3.2) + c = 24.53

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, calculamos os quadrados:
a(7.84) + b(2.8) + c = 16.44 a(9.00) + b(3.0) + c = 20.08 a(10.24) + b(3.2) + c = 24.53
Agora, simplificando:
7.84a + 2.8b + c = 16.44 9a + 3b + c = 20.08 10.24a + 3.2b + c = 24.53
Vamos subtrair a primeira equação da segunda e a segunda da terceira para eliminar (9a - 7.84a) + (3b - 2.8b) = 20.08 - 16.44 (10.24a - 9a) + (3.2b - 3b) = 24.53 - 20.08 :
1.16a + 0.2b = 3.64 1.24a + 0.2b = 4.45
Isso dá:
(1.24a - 1.16a) + (0.2b - 0.2b) = 4.45 - 3.64
Agora, subtraindo a primeira nova equação da segunda:
0.08a = 0.81 implies a = 0.810.08 = 10.125
Isso resulta em:
1.16(10.125) + 0.2b = 3.64 11.745 + 0.2b = 3.64 0.2b = 3.64 - 11.745 0.2b = -8.105 implies b = -8.1050.2 = -40.525
Agora, substituindo 7.84(10.125) + 2.8(-40.525) + c = 16.44 79.44 - 113.47 + c = 16.44 -34.03 + c = 16.44 implies c = 16.44 + 34.03 = 50.47 na primeira nova equação:
Por fim, substituindo e em uma das equações originais para encontrar :

Resposta

O polinômio de grau 2 que aproxima P(x) = 10.125x^2 - 40.525x + 50.47 é:
P(3.1) = 10.125(3.1)^2 - 40.525(3.1) + 50.47 = 10.125(9.61) - 40.525(3.1) + 50.47 = 97.01 - 125.58 + 50.47 = 97.01 - 125.58 + 50.47 = 22.90
Agora, substituindo :
Portanto, a aproximação para usando um polinômio de grau 2 é aproximadamente 22.90.

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