Dada a tabela abaixo, calcule uma aproximação para usando um polinômio de grau 2 .
2.8
3.0
3.2
16.44
20.08
24.53
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede pra calcular uma aproximação de usando um polinômio de grau 2. A tabela que a gente tem mostra os valores de para , e . Esse tipo de problema está dentro do conteúdo de Interpolação Polinomial, onde a gente usa pontos conhecidos para estimar o valor de uma função em um ponto próximo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um polinômio de grau 2. É uma equação da forma , onde , e são constantes que a gente precisa encontrar. A ideia é que esse polinômio passe exatamente pelos três pontos que a gente tem na tabela. Assim, vamos montar um sistema de equações para descobrir esses coeficientes.
Passo 3
Vamos usar os valores da tabela para criar as equações. Sabemos que:
Substituindo na forma geral do polinômio:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, calculamos os quadrados:
Agora, simplificando:
Vamos subtrair a primeira equação da segunda e a segunda da terceira para eliminar :
Isso dá:
Agora, subtraindo a primeira nova equação da segunda:
Isso resulta em:
Agora, substituindo na primeira nova equação:
Por fim, substituindo e em uma das equações originais para encontrar :
Resposta
O polinômio de grau 2 que aproxima é:
Agora, substituindo :
Portanto, a aproximação para usando um polinômio de grau 2 é aproximadamente 22.90.