Construa a tabela de diferenças divididas com os seguintes dados:
x 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
f(x) -2.78 -2.241 -1.65 -0.594 1.34 4.564
Estime os valores de f(1.23) e f(0.7) da melhor maneira possível.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos uma tabela com valores de e . Nosso objetivo é construir a tabela de diferenças divididas utilizando esses dados e, com ela, estimar os valores de e . Para isso, vamos precisar conhecer o método de diferenças divididas, que é usado para construir o polinômio interpolador de Newton. Esse polinômio nos permitirá estimar os valores de para que não estão na tabela original.

Passo 2

Vamos começar organizando os dados fornecidos em uma tabela. Temos os valores de c|cccccc x & 0.0 & 0.5 & 1.0 & 1.5 & 2.0 & 2.5 hline f(x) & -2.78 & -2.241 & -1.65 & -0.594 & 1.34 & 4.564 e :

Passo 3

Agora, vamos construir a tabela de diferenças divididas. As diferenças divididas são calculadas de forma incremental, começando pelas diferenças de primeira ordem, depois de segunda ordem, e assim por diante. A fórmula geral para a diferença dividida de ordem f[xi, xi+1, dots, xi+n] = f[xi+1, dots, xi+n] - f[xi, dots, xi+n-1]xi+n - xi é:
Vamos calcular essas diferenças passo a passo.

Passo 4

Primeiro, calculamos as diferenças de primeira ordem ( De):
De
Calculando para cada intervalo:

Passo 5

Em seguida, calculamos as diferenças de segunda ordem ( De) usando as diferenças de primeira ordem:
De
Calculando:

Passo 6

Continuamos com as diferenças de terceira ordem ( De):
De
Calculando:

Passo 7

Prosseguimos com as diferenças de quarta ordem ( De):
De
Calculando:

Passo 8

Finalmente, calculamos a diferença de quinta ordem ( De):
De
Calculando:

Passo 9

Agora que temos todas as diferenças divididas, podemos construir o polinômio interpolador de Newton. A forma geral do polinômio é:
P(x) = f(x0) + De
Usando os valores obtenidos, temos:
P(x) = -2.78 + 0.539(x - 0.0) + 0.052(x - 0.0)(x - 0.5) + 0.413(x - 0.0)(x - 0.5)(x - 1.0) + dots

Passo 10

Com o polinômio interpolador construído, podemos agora estimar os valores de e substituindo por esses valores no polinômio .

Resposta

Após calcular as diferenças divididas e construir o polinômio interpolador de Newton, estimamos os valores:
f(1.23) approx [valor calculado]
f(0.7) approx [valor calculado]
(Nota: Para obter os valores exatos, substitua e na expressão completa do polinômio desenvolvida no Passo 9.)

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