Dada a seguinte tabela
Determine o polinômio de grau menor ou igual a 2 que passa pelos pontos tabelados e calcule uma aproximação para
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para encontrar um polinômio de grau menor ou igual a 2 que passe pelos pontos da tabela fornecida e, em seguida, calcular uma aproximação para
.
Conteúdo da matéria: Interpolação Polinomial, especificamente usando polinômios de grau 2 para ajustar pontos dados.
O que vamos precisar:
- Conhecer a forma geral de um polinômio de grau 2.
- Saber como substituir os pontos na equação para formar um sistema de equações.
- Resolver o sistema para encontrar os coeficientes do polinômio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um polinômio de grau 2 tem a forma geral:
onde
,
e
são coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, usamos os pontos da tabela para formar equações. Temos três pontos:
,
e
. Substituímos cada par de
e
na equação geral do polinômio.
Para
:
Passo 4
Para
:
Simplificando:
Passo 5
Para
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Podemos simplificar a segunda equação dividindo todos os termos por 4:
Passo 7
Subtraímos a Equação 1 da Equação 2 Simplificada:
Passo 8
Agora que temos
, substituímos na Equação 1 para encontrar
:
Passo 9
Já temos todos os coeficientes:
Portanto, o polinômio que buscamos é:
Passo 10
Finalmente, para encontrar uma aproximação para
, substituímos
no polinômio:
Calculando passo a passo:
Resposta
O polinômio que passa pelos pontos da tabela é
e a aproximação para
é -1.