Dada a seguinte tabela
c||c|c|c x & 0 & 1 & 4 hline f(x) & 1 & -1 & 1
Determine o polinômio de grau menor ou igual a 2 que passa pelos pontos tabelados e calcule uma aproximação para f(3).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para encontrar um polinômio de grau menor ou igual a 2 que passe pelos pontos da tabela fornecida e, em seguida, calcular uma aproximação para .
Conteúdo da matéria: Interpolação Polinomial, especificamente usando polinômios de grau 2 para ajustar pontos dados.
O que vamos precisar:
  • Conhecer a forma geral de um polinômio de grau 2.
  • Saber como substituir os pontos na equação para formar um sistema de equações.
  • Resolver o sistema para encontrar os coeficientes do polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um polinômio de grau 2 tem a forma geral:
P(x) = ax^2 + bx + c
onde , e são coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, usamos os pontos da tabela para formar equações. Temos três pontos: 1 = a(0)^2 + b(0) + c Rightarrow c = 1 , e . Substituímos cada par de e na equação geral do polinômio.
Para :

Passo 4

Para -1 = a(1)^2 + b(1) + c Rightarrow -1 = a + b + 1 :
a + b = -2 (Equação 1)
Simplificando:
çã

Passo 5

Para 1 = a(4)^2 + b(4) + c Rightarrow 1 = 16a + 4b + 1 :
16a + 4b = 0 (Equação 2)
Simplificando:
çã

Passo 6

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
a + b = -2 16a + 4b = 0
Podemos simplificar a segunda equação dividindo todos os termos por 4:
4a + b = 0 (Equação 2 Simplificada) çã

Passo 7

Subtraímos a Equação 1 da Equação 2 Simplificada:
(4a + b) - (a + b) = 0 - (-2) 3a = 2 a = 23

Passo 8

Agora que temos 23 + b = -2 b = -2 - 23 b = -83 , substituímos na Equação 1 para encontrar :

Passo 9

Já temos todos os coeficientes:
a = 23, b = -83, c = 1
Portanto, o polinômio que buscamos é:
P(x) = 23x^2 - 83x + 1

Passo 10

Finalmente, para encontrar uma aproximação para P(3) = 23(3)^2 - 83(3) + 1 , substituímos P(3) = 23(9) - 83(3) + 1 = 6 - 8 + 1 = -1 no polinômio:
Calculando passo a passo:

Resposta

O polinômio que passa pelos pontos da tabela é e a aproximação para é -1.

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