Dada a seguinte tabela
Determine o polinômio de grau menor ou igual a 2 que passa pelos pontos tabelados e calcule uma aproximação para .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para encontrar um polinômio de grau menor ou igual a 2 que passe pelos pontos da tabela fornecida e, em seguida, calcular uma aproximação para .
Conteúdo da matéria: Interpolação Polinomial, especificamente usando polinômios de grau 2 para ajustar pontos dados.
O que vamos precisar:
  • Conhecer a forma geral de um polinômio de grau 2.
  • Saber como substituir os pontos na equação para formar um sistema de equações.
  • Resolver o sistema para encontrar os coeficientes do polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um polinômio de grau 2 tem a forma geral:
onde , e são coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, usamos os pontos da tabela para formar equações. Temos três pontos: , e . Substituímos cada par de e na equação geral do polinômio.
Para :

Passo 4

Para :
Simplificando:
çã

Passo 5

Para :
Simplificando:
çã

Passo 6

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Podemos simplificar a segunda equação dividindo todos os termos por 4:
çã

Passo 7

Subtraímos a Equação 1 da Equação 2 Simplificada:

Passo 8

Agora que temos , substituímos na Equação 1 para encontrar :

Passo 9

Já temos todos os coeficientes:
Portanto, o polinômio que buscamos é:

Passo 10

Finalmente, para encontrar uma aproximação para , substituímos no polinômio:
Calculando passo a passo:

Resposta

O polinômio que passa pelos pontos da tabela é e a aproximação para é -1.

Exercícios relacionados

Construa a tabela de diferenças divididas com os seguintes dados:
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
-2.78 -2.241 -1.65 -0.594 1.34 4.564
Estime os valores de e da melhor maneira possível.
Este exercício servirá apenas para verificar o domínio do estudante com relação às operações com frações e radicais. Para tal, efetue as operações indicadas nos itens abaixo: (Neste caso será que precisamos fazer muitos cálculos?)
Calcule as integrais a seguir pela regra dos Trapézios repetida e pela regra de Simpson repetida, usando 4 e 6 divisões de . Compare os resultados:
a)
b)
c)
Dada a tabela abaixo, calcule uma aproximação para usando um polinômio de grau 2 .
2.8 3.0 3.2
16.44 20.08 24.53