Dada a seguinte tabela
Determine o polinômio de grau menor ou igual a 2 que passa pelos pontos tabelados e calcule uma aproximação para
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para encontrar um polinômio de grau menor ou igual a 2 que passe pelos pontos da tabela fornecida e, em seguida, calcular uma aproximação para
.
Conteúdo da matéria: Interpolação Polinomial, especificamente usando polinômios de grau 2 para ajustar pontos dados.
O que vamos precisar:
- Conhecer a forma geral de um polinômio de grau 2.
- Saber como substituir os pontos na equação para formar um sistema de equações.
- Resolver o sistema para encontrar os coeficientes do polinômio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um polinômio de grau 2 tem a forma geral:
onde
,
e
são coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, usamos os pontos da tabela para formar equações. Temos três pontos:
,
e
. Substituímos cada par de
e
na equação geral do polinômio.
Para
:
Passo 4
Para
:
Simplificando:
Passo 5
Para
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Podemos simplificar a segunda equação dividindo todos os termos por 4:
Passo 7
Subtraímos a Equação 1 da Equação 2 Simplificada:
Passo 8
Agora que temos
, substituímos na Equação 1 para encontrar
:
Passo 9
Já temos todos os coeficientes:
Portanto, o polinômio que buscamos é:
Passo 10
Finalmente, para encontrar uma aproximação para
, substituímos
no polinômio:
Calculando passo a passo:
Resposta
O polinômio que passa pelos pontos da tabela é
e a aproximação para
é -1.
Exercícios relacionados
Construa a tabela de diferenças divididas com os seguintes dados:
|
0.0 | 0.5 | 1.0 | 1.5 | 2.0 | 2.5 |
---|---|---|---|---|---|---|
|
-2.78 | -2.241 | -1.65 | -0.594 | 1.34 | 4.564 |
Estime os valores de
e
da melhor maneira possível.
Este exercício servirá apenas para verificar o domínio do estudante com relação às operações com frações e radicais. Para tal, efetue as operações indicadas nos itens abaixo:
(Neste caso será que precisamos fazer muitos cálculos?)
Calcule as integrais a seguir pela regra dos Trapézios repetida e pela regra de Simpson repetida, usando 4 e 6 divisões de
. Compare os resultados:
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Dada a tabela abaixo, calcule uma aproximação para
usando um polinômio de grau 2 .
|
2.8 | 3.0 | 3.2 |
---|---|---|---|
|
16.44 | 20.08 | 24.53 |