Calcule as integrais a seguir pela regra dos trapézios e de Simpson, usando quatro e seis divisões de . Obtenha um limitante superior para o erro cometido e compare com o valor exato, quando for possível.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando as regras dos Trapézios e de Simpson. Para isso, vamos dividir o intervalo em quatro e seis subintervalos. A gente vai precisar entender como essas regras funcionam, calcular as aproximações e, quando der, comparar com o valor exato da integral. Também vamos ver como estimar o erro dessas aproximações.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as fórmulas das regras dos Trapézios e de Simpson.
  • Regra dos Trapézios: Para aproximar a integral com subintervalos, a fórmula é:
é
  • Regra de Simpson: Essa regra também aproxima a integral, mas usa uma combinação ponderada dos pontos. A fórmula é válida para par e dada por:
í
Aqui, , e .

Passo 3

Vamos calcular para e .
Para :
Os pontos são: , , , ,
Calculando em cada ponto:
Regra dos Trapézios:
é
Regra de Simpson:

Passo 4

Para :
Os pontos são: , , , , , ,
Calculando em cada ponto:
Regra dos Trapézios:
é
Regra de Simpson:

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor exato da integral para comparar:

Passo 6

Vamos comparar as aproximações:
  • Trapézios com : 4,6951
  • Simpson com : 4,5875
  • Trapézios com : 4,5142
  • Simpson com : 4,6172
  • Valor Exato: 4,6708
Observamos que todas as aproximações estão próximas do valor exato, com a regra dos Trapézios melhorando à medida que aumentamos o número de subintervalos, enquanto a regra de Simpson também traz boas aproximações, especialmente com .

Resposta

Aproximações da integral :
  • Trapézios : 4,6951
  • Simpson : 4,5875
  • Trapézios : 4,5142
  • Simpson : 4,6172
  • Valor Exato: 4,6708

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a. 76
b. 140
c. 320
d. 960
e. 1280
Provar que a equação possui duas raízes reais.
Calcule as integrais a seguir pela regra dos trapézios e de Simpson, usando quatro e seis divisões de . Obtenha um limitante superior para o erro cometido e compare com o valor exato, quando for possível.
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