Calcule as integrais a seguir pela regra dos trapézios e de Simpson, usando quatro e seis divisões de [a, b]. Obtenha um limitante superior para o erro cometido e compare com o valor exato, quando for possível.
integral1^2 exp (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando as regras dos Trapézios e de Simpson. Para isso, vamos dividir o intervalo em quatro e seis subintervalos. A gente vai precisar entender como essas regras funcionam, calcular as aproximações e, quando der, comparar com o valor exato da integral. Também vamos ver como estimar o erro dessas aproximações.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as fórmulas das regras dos Trapézios e de Simpson.
  • Regra dos Trapézios: Para aproximar a integral Trapézios = De com Simpson = De subintervalos, a fórmula é:
é
  • Regra de Simpson: Essa regra também aproxima a integral, mas usa uma combinação ponderada dos pontos. A fórmula é válida para par e dada por:
í
Aqui, , e .

Passo 3

Vamos calcular para f(1) = e^1 = e approx 2,7183 e f(1,25) = e^1,25 approx 3,4903 .
Para f(1,5) = e^1,5 approx 4,4817 :
f(1,75) = e^1,75 approx 5,7546
Os pontos são: f(2) = e^2 approx 7,3891 , Trapézios = 0,252 [2,7183 + 2(3,4903 + 4,4817 + 5,7546) + 7,3891] , = 0,125 [2,7183 + 2(13,7266) + 7,3891] , = 0,125 [2,7183 + 27,4532 + 7,3891] = 0,125 times 37,5606 approx 4,6951 , Simpson = 0,253 [2,7183 + 4(3,4903 + 5,7546) + 2(4,4817) + 7,3891]
Calculando = 0,253 [2,7183 + 4(9,2449) + 8,9634 + 7,3891] em cada ponto:
= 0,253 [2,7183 + 36,9796 + 8,9634 + 7,3891] = 0,253 times 55,0504 approx 4,5875
Regra dos Trapézios:
é
Regra de Simpson:

Passo 4

Para f(1) = e^1 approx 2,7183 :
f(1,1667) = e^1,1667 approx 3,2098
Os pontos são: f(1,3333) = e^1,3333 approx 3,7937 , f(1,5) = e^1,5 approx 4,4817 , f(1,6667 = e^1,6667 approx 5,2943 , f(1,8333 = e^1,8333 approx 6,2528 , f(2) = e^2 approx 7,3891 , Trapézios = 0,16672 [2,7183 + 2(3,2098 + 3,7937 + 4,4817 + 5,2943 + 6,2528) + 7,3891] , = 0,08335 [2,7183 + 2(22,0313) + 7,3891] = 0,08335 [2,7183 + 44,0626 + 7,3891] = 0,08335 times 54,1699 approx 4,5142
Calculando Simpson = 0,16673 [2,7183 + 4(3,2098 + 4,4817 + 6,2528) + 2(3,7937 + 5,2943) + 7,3891] em cada ponto:
= 0,16673 [2,7183 + 4(13,9443) + 2(9,0880) + 7,3891]
= 0,16673 [2,7183 + 55,7772 + 18,1760 + 7,3891] = 0,16673 times 83,0606 approx 4,6172
Regra dos Trapézios:
é
Regra de Simpson:

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor exato da integral para comparar:
integral1^2 e^x dx = e^2 - e^1 approx 7,3891 - 2,7183 = 4,6708

Passo 6

Vamos comparar as aproximações:
  • Trapézios com : 4,6951
  • Simpson com : 4,5875
  • Trapézios com : 4,5142
  • Simpson com : 4,6172
  • Valor Exato: 4,6708
Observamos que todas as aproximações estão próximas do valor exato, com a regra dos Trapézios melhorando à medida que aumentamos o número de subintervalos, enquanto a regra de Simpson também traz boas aproximações, especialmente com .

Resposta

Aproximações da integral :
  • Trapézios : 4,6951
  • Simpson : 4,5875
  • Trapézios : 4,5142
  • Simpson : 4,6172
  • Valor Exato: 4,6708

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