Calcule as integrais a seguir pela regra dos trapézios e de Simpson, usando quatro e seis divisões de
. Obtenha um limitante superior para o erro cometido e compare com o valor exato, quando for possível.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando as regras dos Trapézios e de Simpson. Para isso, vamos dividir o intervalo
em quatro e seis subintervalos. A gente vai precisar entender como essas regras funcionam, calcular as aproximações e, quando der, comparar com o valor exato da integral. Também vamos ver como estimar o erro dessas aproximações.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as fórmulas das regras dos Trapézios e de Simpson.
- Regra dos Trapézios: Para aproximar a integral
com subintervalos, a fórmula é:
- Regra de Simpson: Essa regra também aproxima a integral, mas usa uma combinação ponderada dos pontos. A fórmula é válida para
par e dada por:
Aqui,
, e
.
Passo 3
Vamos calcular para
e
.
Para
:
Os pontos são:
,
,
,
,
Calculando
em cada ponto:
Regra dos Trapézios:
Regra de Simpson:
Passo 4
Para
:
Os pontos são:
,
,
,
,
,
,
Calculando
em cada ponto:
Regra dos Trapézios:
Regra de Simpson:
Passo 5
Agora, vamos calcular o valor exato da integral para comparar:
Passo 6
Vamos comparar as aproximações:
- Trapézios com
: 4,6951 - Simpson com
: 4,5875 - Trapézios com
: 4,5142 - Simpson com
: 4,6172 - Valor Exato: 4,6708
Observamos que todas as aproximações estão próximas do valor exato, com a regra dos Trapézios melhorando à medida que aumentamos o número de subintervalos, enquanto a regra de Simpson também traz boas aproximações, especialmente com
.
Resposta
Aproximações da integral
:
- Trapézios
: 4,6951 - Simpson
: 4,5875 - Trapézios
: 4,5142 - Simpson
: 4,6172 - Valor Exato: 4,6708
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Utilizando-se um fio de comprimento L é possível construir uma sequência de 16 quadrados em que o lado de cada quadrado, a partir do segundo, é 2 cm maior que o lado do quadrado anterior. Sabendo que para a construção do sétimo quadrado são necessários 68 cm , determine o valor de L.
a. 76
b. 140
c. 320
d. 960
e. 1280
a. 76
b. 140
c. 320
d. 960
e. 1280
Provar que a equação
possui duas raízes reais.
Calcule as integrais a seguir pela regra dos trapézios e de Simpson, usando quatro e seis divisões de
. Obtenha um limitante superior para o erro cometido e compare com o valor exato, quando for possível.
Calcule as integrais a seguir pela regra dos trapézios e de Simpson, usando quatro e seis divisões de
. Obtenha um limitante superior para o erro cometido e compare com o valor exato, quando for possível.