Calcule as integrais a seguir pela regra dos trapézios e de Simpson, usando quatro e seis divisões de . Obtenha um limitante superior para o erro cometido e compare com o valor exato, quando for possível.

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral usando duas técnicas: a Regra dos Trapézios e a Regra de Simpson. A gente vai fazer isso com 4 e 6 divisões do intervalo . Além disso, precisamos encontrar um limite superior para o erro dessas aproximações e, se der, comparar com o valor exato da integral. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam essas regras de integração numérica e aplicar algumas fórmulas matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o valor exato da integral para termos uma referência. A integral de é . Então:
Calculando isso numericamente:
Então, o valor exato é aproximadamente 4.655.

Passo 3

Vamos aplicar a Regra dos Trapézios com 4 divisões. A Regra dos Trapézios aproxima a integral dividindo o intervalo em trapézios e somando suas áreas. A fórmula é:
Onde . Aqui, , , e . Então:
Os pontos são:
Calculando :
Agora, aplicando na fórmula:

Passo 4

Agora, vamos usar a Regra dos Trapézios com 6 divisões. Novamente, a fórmula é a mesma:
Os pontos são:
Calculando :
Aplicando na fórmula:

Passo 5

Vamos agora para a Regra de Simpson com 4 divisões. A Regra de Simpson é mais precisa e usa uma combinação de parabolas para aproximar a integral. A fórmula é:
Com (deve ser par), e como antes.
Usando os valores de :

Passo 6

Agora, vamos aplicar a Regra de Simpson com 6 divisões. A fórmula continua sendo a mesma:
Os pontos já calculados são , , , , , , .
Aplicando na fórmula:

Passo 7

Vamos estimar o erro das aproximações. Para a Regra dos Trapézios, o erro é dado por:
Primeiro, encontramos , então:
O máximo de em ocorre em :
Então, para :
Para a Regra de Simpson, o erro é:
Calculando para :
O máximo é em :
Então, para :

Resposta

Usando a Regra dos Trapézios com 4 divisões, a aproximação foi . Com 6 divisões, . Pela Regra de Simpson, com 4 divisões, e com 6 divisões, . O erro estimado para os Trapézios com 4 divisões é de até aproximadamente 1.188, e para Simpson com 4 divisões, até cerca de 0.280. O valor exato da integral é aproximadamente 4.655, então as aproximações estão próximas do valor real, com a Regra de Simpson oferecendo maior precisão.

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