Calcule as integrais a seguir pela regra dos trapézios e de Simpson, usando quatro e seis divisões de
. Obtenha um limitante superior para o erro cometido e compare com o valor exato, quando for possível.
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a integral
usando duas técnicas: a Regra dos Trapézios e a Regra de Simpson. A gente vai fazer isso com 4 e 6 divisões do intervalo
. Além disso, precisamos encontrar um limite superior para o erro dessas aproximações e, se der, comparar com o valor exato da integral. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam essas regras de integração numérica e aplicar algumas fórmulas matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o valor exato da integral para termos uma referência. A integral de
é
. Então:
Calculando isso numericamente:
Então, o valor exato é aproximadamente 4.655.
Passo 3
Vamos aplicar a Regra dos Trapézios com 4 divisões. A Regra dos Trapézios aproxima a integral dividindo o intervalo em trapézios e somando suas áreas. A fórmula é:
Onde
. Aqui,
,
, e
. Então:
Os pontos são:
Calculando
:
Agora, aplicando na fórmula:
Passo 4
Agora, vamos usar a Regra dos Trapézios com 6 divisões. Novamente, a fórmula é a mesma:
Os pontos são:
Calculando
:
Aplicando na fórmula:
Passo 5
Vamos agora para a Regra de Simpson com 4 divisões. A Regra de Simpson é mais precisa e usa uma combinação de parabolas para aproximar a integral. A fórmula é:
Com
(deve ser par), e
como antes.
Usando os valores de
:
Passo 6
Agora, vamos aplicar a Regra de Simpson com 6 divisões. A fórmula continua sendo a mesma:
Os pontos já calculados são
,
,
,
,
,
,
.
Aplicando na fórmula:
Passo 7
Vamos estimar o erro das aproximações. Para a Regra dos Trapézios, o erro é dado por:
Primeiro, encontramos
, então:
O máximo de
em
ocorre em
:
Então, para
:
Para a Regra de Simpson, o erro é:
Calculando
para
:
O máximo é em
:
Então, para
:
Resposta
Usando a Regra dos Trapézios com 4 divisões, a aproximação foi
. Com 6 divisões,
. Pela Regra de Simpson, com 4 divisões,
e com 6 divisões,
. O erro estimado para os Trapézios com 4 divisões é de até aproximadamente 1.188, e para Simpson com 4 divisões, até cerca de 0.280. O valor exato da integral é aproximadamente 4.655, então as aproximações estão próximas do valor real, com a Regra de Simpson oferecendo maior precisão.
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Calcule as integrais a seguir pela regra dos trapézios e de Simpson, usando quatro e seis divisões de
. Obtenha um limitante superior para o erro cometido e compare com o valor exato, quando for possível.
Calcule as integrais a seguir pela regra dos trapézios e de Simpson, usando quatro e seis divisões de
. Obtenha um limitante superior para o erro cometido e compare com o valor exato, quando for possível.
Calcule o valor aproximado de
com três casas decimais de precisão usando Simpson e trapézios.
Qual o erro máximo cometido na aproximação de
pela regra de Simpson com quatro subintervalos?