Calcule as integrais a seguir pela regra dos trapézios e de Simpson, usando quatro e seis divisões de [a, b]. Obtenha um limitante superior para o erro cometido e compare com o valor exato, quando for possível.
integral2^14 d xraizx

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral usando duas técnicas: a Regra dos Trapézios e a Regra de Simpson. A gente vai fazer isso com 4 e 6 divisões do intervalo . Além disso, precisamos encontrar um limite superior para o erro dessas aproximações e, se der, comparar com o valor exato da integral. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam essas regras de integração numérica e aplicar algumas fórmulas matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o valor exato da integral para termos uma referência. A integral de integral2^14 1raizx , dx = 2raiz14 - 2raiz2 é 2raiz14 approx 2 times 3.7417 = 7.4834 . Então:
2raiz2 approx 2 times 1.4142 = 2.8284
Calculando isso numericamente:
7.4834 - 2.8284 = 4.655
Então, o valor exato é aproximadamente 4.655.

Passo 3

Vamos aplicar a Regra dos Trapézios com 4 divisões. A Regra dos Trapézios aproxima a integral dividindo o intervalo em trapézios e somando suas áreas. A fórmula é:
Tn = h2 [ f(x0) + 2sumi=1^n-1 f(xi) + f(xn) ]
Onde h = 14 - 24 = 3 . Aqui, x0 = 2, x1 = 5, x2 = 8, x3 = 11, x4 = 14 , f(2) = 1raiz2 approx 0.7071 , e f(5) = 1raiz5 approx 0.4472 . Então:
f(8) = 1raiz8 approx 0.3536
Os pontos são:
f(11) = 1raiz11 approx 0.3015
Calculando f(14) = 1raiz14 approx 0.2673 :
T4 = 32 [ 0.7071 + 2(0.4472 + 0.3536 + 0.3015) + 0.2673 ]
T4 = 32 [ 0.7071 + 2(1.1023) + 0.2673 ]
T4 = 32 [ 0.7071 + 2.2046 + 0.2673 ]
T4 = 32 times 3.1789 approx 4.7683
Agora, aplicando na fórmula:

Passo 4

Agora, vamos usar a Regra dos Trapézios com 6 divisões. Novamente, a fórmula é a mesma:
h = 14 - 26 = 2
Os pontos são:
x0 = 2, x1 = 4, x2 = 6, x3 = 8, x4 = 10, x5 = 12, x6 = 14
Calculando f(2) approx 0.7071 :
f(4) = 12 = 0.5
f(6) approx 0.4082
f(8) approx 0.3536
f(10) approx 0.3162
f(12) approx 0.2887
f(14) approx 0.2673
T6 = 22 [ 0.7071 + 2(0.5 + 0.4082 + 0.3536 + 0.3162 + 0.2887) + 0.2673 ]
Aplicando na fórmula:
T6 = 1 [ 0.7071 + 2(1.8667) + 0.2673 ]
T6 = 0.7071 + 3.7334 + 0.2673 approx 4.7078

Passo 5

Vamos agora para a Regra de Simpson com 4 divisões. A Regra de Simpson é mais precisa e usa uma combinação de parabolas para aproximar a integral. A fórmula é:
Sn = h3 [ f(x0) + 4sumimpares f(xi) + 2sumpares f(xi) + f(xn) ]
Com S4 = 33 [ 0.7071 + 4(0.4472 + 0.3015) + 2(0.3536) + 0.2673 ] (deve ser par), e S4 = 1 [ 0.7071 + 4(0.7487) + 0.7072 + 0.2673 ] como antes.
Usando os valores de S4 = 0.7071 + 2.9948 + 0.7072 + 0.2673 approx 4.6764 :

Passo 6

Agora, vamos aplicar a Regra de Simpson com 6 divisões. A fórmula continua sendo a mesma:
h = 2
Os pontos já calculados são S6 = 23 [ 0.7071 + 4(0.5 + 0.3536 + 0.2887) + 2(0.4082 + 0.3162 + 0.2673) + 0.2673 ] , S6 = 23 [ 0.7071 + 4(1.1423) + 2(0.9917) + 0.2673 ] , S6 = 23 [ 0.7071 + 4.5692 + 1.9834 + 0.2673 ] , S6 = 23 times 7.526 approx 5.0173 , , , .
Aplicando na fórmula:

Passo 7

Vamos estimar o erro das aproximações. Para a Regra dos Trapézios, o erro é dado por:
ET <= (b - a)^312n^2 maxx in [a,b] |f''(x)|
Primeiro, encontramos f'(x) = -12x^-3/2 , então:
f''(x) = 34x^-5/2
f''(2) = 34 times (2)^-5/2 = 34 times 1(2)^2.5 approx 0.1320
O máximo de ET <= (14 - 2)^312 times 16 times 0.1320 = 1728192 times 0.1320 approx 1.188 em ES <= (b - a)^5180n^4 maxx in [a,b] |f^(4)(x)| ocorre em f'''(x) = -158x^-7/2 :
Então, para f^(4)(x) = 10516x^-9/2 :
f^(4)(2) = 10516 times 2^-9/2 approx 0.0518
Para a Regra de Simpson, o erro é:
ES <= (14 - 2)^5180 times 256 times 0.0518 = 24883246080 times 0.0518 approx 0.280
Calculando para :
O máximo é em :
Então, para :

Resposta

Usando a Regra dos Trapézios com 4 divisões, a aproximação foi . Com 6 divisões, . Pela Regra de Simpson, com 4 divisões, e com 6 divisões, . O erro estimado para os Trapézios com 4 divisões é de até aproximadamente 1.188, e para Simpson com 4 divisões, até cerca de 0.280. O valor exato da integral é aproximadamente 4.655, então as aproximações estão próximas do valor real, com a Regra de Simpson oferecendo maior precisão.

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