Utilizando-se um fio de comprimento L é possível construir uma sequência de 16 quadrados em que o lado de cada quadrado, a partir do segundo, é 2 cm maior que o lado do quadrado anterior. Sabendo que para a construção do sétimo quadrado são necessários 68 cm , determine o valor de L.
a. 76
b. 140
c. 320
d. 960
e. 1280
a. 76
b. 140
c. 320
d. 960
e. 1280
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos um fio de comprimento
que forma uma sequência de 16 quadrados. Cada quadrado, a partir do segundo, tem um lado 2 cm maior que o anterior. Sabemos que para o sétimo quadrado, o perímetro é 68 cm. Nosso objetivo é encontrar o valor de
.
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o perímetro de um quadrado e como somar as medidas de todos os quadrados para encontrar o comprimento total do fio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o perímetro de um quadrado. O perímetro (
) de um quadrado é dado por:
Isso porque um quadrado tem quatro lados iguais.
Passo 3
Vamos chamar o lado do primeiro quadrado de
cm. Então, o lado do segundo quadrado será
cm, o do terceiro será
cm, e assim por diante. De maneira geral, o lado do
-ésimo quadrado será:
Isso porque a cada quadrado, o lado aumenta 2 cm.
Passo 4
Sabemos que o perímetro do sétimo quadrado é 68 cm. Vamos usar isso para encontrar o valor de
.
O sétimo quadrado tem lado:
Então, seu perímetro é:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
:
Então, o lado do primeiro quadrado é 5 cm.
Passo 6
Agora que sabemos que
cm, podemos encontrar o perímetro de cada quadrado na sequência. O
-ésimo quadrado tem perímetro:
Passo 7
Para encontrar o comprimento total do fio
, precisamos somar os perímetros de todos os 16 quadrados:
Vamos calcular essa soma.
Passo 8
Primeiro, vamos separar a soma:
Calculando cada parte:
E a soma de
de 1 a 16 é:
Então:
Resposta
O valor de
é 1280 cm.
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