Utilizando-se um fio de comprimento L é possível construir uma sequência de 16 quadrados em que o lado de cada quadrado, a partir do segundo, é 2 cm maior que o lado do quadrado anterior. Sabendo que para a construção do sétimo quadrado são necessários 68 cm , determine o valor de L.
a. 76
b. 140
c. 320
d. 960
e. 1280

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos um fio de comprimento que forma uma sequência de 16 quadrados. Cada quadrado, a partir do segundo, tem um lado 2 cm maior que o anterior. Sabemos que para o sétimo quadrado, o perímetro é 68 cm. Nosso objetivo é encontrar o valor de .
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o perímetro de um quadrado e como somar as medidas de todos os quadrados para encontrar o comprimento total do fio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o perímetro de um quadrado. O perímetro ( P = 4 times lado ) de um quadrado é dado por:
Isso porque um quadrado tem quatro lados iguais.

Passo 3

Vamos chamar o lado do primeiro quadrado de s + 2(n - 1) cm. Então, o lado do segundo quadrado será cm, o do terceiro será cm, e assim por diante. De maneira geral, o lado do -ésimo quadrado será:
Isso porque a cada quadrado, o lado aumenta 2 cm.

Passo 4

Sabemos que o perímetro do sétimo quadrado é 68 cm. Vamos usar isso para encontrar o valor de s + 2(7 - 1) = s + 12 .
O sétimo quadrado tem lado:
4(s + 12) = 68
Então, seu perímetro é:

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar 4(s + 12) = 68 s + 12 = 684 s + 12 = 17 s = 17 - 12 s = 5 cm :
Então, o lado do primeiro quadrado é 5 cm.

Passo 6

Agora que sabemos que 4(s + 2(n - 1)) = 4(5 + 2(n - 1)) = 4(5 + 2n - 2) = 4(3 + 2n) = 12 + 8n cm cm, podemos encontrar o perímetro de cada quadrado na sequência. O -ésimo quadrado tem perímetro:

Passo 7

Para encontrar o comprimento total do fio L = sumn=1^16 [12 + 8n] , precisamos somar os perímetros de todos os 16 quadrados:
Vamos calcular essa soma.

Passo 8

Primeiro, vamos separar a soma:
L = sumn=1^16 12 + sumn=1^16 8n = 12 times 16 + 8 times sumn=1^16 n
Calculando cada parte:
12 times 16 = 192
E a soma de sumn=1^16 n = 16 times (16 + 1)2 = 16 times 172 = 136 de 1 a 16 é:
L = 192 + 8 times 136 = 192 + 1088 = 1280 cm
Então:

Resposta

O valor de é 1280 cm.

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