Calcule as integrais a seguir pela regra dos trapézios e de Simpson, usando quatro e seis divisões de . Obtenha um limitante superior para o erro cometido e compare com o valor exato, quando for possível.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando as regras dos Trapézios e de Simpson. Aqui, vamos aplicar essas técnicas numéricas com 4 e 6 divisões no intervalo . Para isso, precisamos lembrar de como essas regras funcionam e como calcular o erro das aproximações. Também, vamos comparar com o valor exato da integral quando der.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor exato da integral para termos uma referência. A integral de é:
Avaliada de 1 a 4:
Então, o valor exato da integral é .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Regra dos Trapézios com 4 divisões. A fórmula da Regra dos Trapézios é:
Onde , e é o número de divisões.
Para 4 divisões:
Os pontos são: , , , , .
Calculando :
Então:
Aplicando na fórmula:

Passo 4

Agora, vamos usar a Regra dos Trapézios com 6 divisões.
Os pontos são: , , , , , , .
Calculando :
Aplicando na fórmula:

Passo 5

Vamos agora aplicar a Regra de Simpson com 4 divisões. A fórmula da Regra de Simpson é:
í
Para 4 divisões ( ):
Os pontos são , , , , .
Aplicando na fórmula:

Passo 6

Agora, a Regra de Simpson com 6 divisões.
Os pontos são , , , , , , .
Aplicando na fórmula:

Passo 7

Agora, vamos calcular os limites superiores para o erro das aproximações. Para as Regras dos Trapézios e de Simpson, os erros são dados por:
  • Trapézios:
  • Simpson:
Para :
No intervalo , o valor máximo de é em :
E o máximo de também é em :
Para a Regra dos Trapézios com 4 divisões:
Com 6 divisões:
Para a Regra de Simpson com 4 divisões:
Com 6 divisões:

Resposta

Depois de aplicar as Regras dos Trapézios e de Simpson com 4 e 6 divisões, obtivemos os seguintes resultados aproximados para a integral :
  • Regra dos Trapézios:
    • 4 divisões:
    • 6 divisões:
  • Regra de Simpson:
    • 4 divisões:
    • 6 divisões:
O valor exato da integral é . Observamos que as aproximações com a Regra de Simpson estão mais próximas do valor exato, especialmente com 4 divisões. Os limites superiores para o erro mostraram que as aproximações estão dentro de uma margem aceitável de erro.

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a. 76
b. 140
c. 320
d. 960
e. 1280
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