Calcule as integrais a seguir pela regra dos trapézios e de Simpson, usando quatro e seis divisões de . Obtenha um limitante superior para o erro cometido e compare com o valor exato, quando for possível.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral usando as regras dos Trapézios e de Simpson. Aqui, vamos aplicar essas técnicas numéricas com 4 e 6 divisões no intervalo . Para isso, precisamos lembrar de como essas regras funcionam e como calcular o erro das aproximações. Também, vamos comparar com o valor exato da integral quando der.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor exato da integral para termos uma referência. A integral de é:
Avaliada de 1 a 4:
Então, o valor exato da integral é .
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Regra dos Trapézios com 4 divisões. A fórmula da Regra dos Trapézios é:
Tn = h2 [ f(a) + 2 sumi=1^n-1 f(xi) + f(b) ]
Onde h = 4 - 14 = 0,75 , e f(x) = raizx é o número de divisões.
No intervalo max |f^(4)(x)| = 1516 times 1^7/2 = 1516 , o valor máximo de ET <= (3)^312 times 4^2 times 14 = 2712 times 16 times 14 = 27192 times 14 = 27768 approx 0,0352 é em ET <= 2712 times 36 times 14 = 27432 times 14 = 271728 approx 0,0156 :
ES <= 3^5180 times 4^4 times 1516 = 243180 times 256 times 1516 approx 0,0020
E o máximo de ES <= 243180 times 1296 times 1516 approx 0,0003 também é em :
Para a Regra dos Trapézios com 4 divisões:
Com 6 divisões:
Para a Regra de Simpson com 4 divisões:
Com 6 divisões:
Resposta
Depois de aplicar as Regras dos Trapézios e de Simpson com 4 e 6 divisões, obtivemos os seguintes resultados aproximados para a integral :
Regra dos Trapézios:
4 divisões:
6 divisões:
Regra de Simpson:
4 divisões:
6 divisões:
O valor exato da integral é . Observamos que as aproximações com a Regra de Simpson estão mais próximas do valor exato, especialmente com 4 divisões. Os limites superiores para o erro mostraram que as aproximações estão dentro de uma margem aceitável de erro.