Calcule as integrais a seguir pela regra dos trapézios e de Simpson, usando quatro e seis divisões de [a, b]. Obtenha um limitante superior para o erro cometido e compare com o valor exato, quando for possível.
integral1^4 raizx d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando as regras dos Trapézios e de Simpson. Aqui, vamos aplicar essas técnicas numéricas com 4 e 6 divisões no intervalo . Para isso, precisamos lembrar de como essas regras funcionam e como calcular o erro das aproximações. Também, vamos comparar com o valor exato da integral quando der.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor exato da integral para termos uma referência. A integral de integral raizx , dx = 23 x^3/2 + C é:
23 x^3/2 |1^4 = 23 (4^3/2 - 1^3/2) = 23 (8 - 1) = 23 times 7 = 143 approx 4,6667
Avaliada de 1 a 4:
Então, o valor exato da integral é .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Regra dos Trapézios com 4 divisões. A fórmula da Regra dos Trapézios é:
Tn = h2 [ f(a) + 2 sumi=1^n-1 f(xi) + f(b) ]
Onde h = 4 - 14 = 0,75 , e f(x) = raizx é o número de divisões.
Para 4 divisões:
f(1) = 1, f(1,75) approx 1,3229, f(2,5) approx 1,5811, f(3,25) approx 1,8028, f(4) = 2
Os pontos são: T4 = 0,752 [1 + 2(1,3229 + 1,5811 + 1,8028) + 2 ] , = 0,375 [1 + 2(4,7068) + 2 ] = 0,375 [1 + 9,4136 + 2 ] = 0,375 times 12,4136 approx 4,6551 , , , .
Calculando :
Então:
Aplicando na fórmula:

Passo 4

Agora, vamos usar a Regra dos Trapézios com 6 divisões.
h = 4 - 16 = 0,5
Os pontos são: f(1,5) approx 1,2247, f(2) approx 1,4142, f(3) approx 1,7321, f(3,5) approx 1,8708 , T6 = 0,52 [1 + 2(1,2247 + 1,4142 + 1,7321 + 1,8708 + 2) ] , = 0,25 [1 + 2(7,2418) + 2 ] = 0,25 times (1 + 14,4836 + 2) = 0,25 times 17,4836 approx 4,3709 , , , , .
Calculando :
Aplicando na fórmula:

Passo 5

Vamos agora aplicar a Regra de Simpson com 4 divisões. A fórmula da Regra de Simpson é:
Sn = h3 [ f(a) + 4 sumi ímpar f(xi) + 2 sumi par, exceto extremos f(xi) + f(b) ] í
Para 4 divisões ( h = 4 - 14 = 0,75 ):
S4 = 0,753 [1 + 4(1,3229 + 1,8028) + 2(1,5811) + 2 ]
Os pontos são = 0,25 [1 + 4(3,1257) + 3,1622 + 2 ] = 0,25 times (1 + 12,5028 + 3,1622 + 2) = 0,25 times 18,665 approx 4,66625 , , , , .
Aplicando na fórmula:

Passo 6

Agora, a Regra de Simpson com 6 divisões.
h = 4 - 16 = 0,5
Os pontos são S6 = 0,53 [1 + 4(1,2247 + 1,7321 + 1,8708) + 2(1,4142 + 1,5811 + 1,8028) + 2 ] , = 0,53 [1 + 4(4,8276) + 2(4,7981) + 2 ] = 0,53 times (1 + 19,3104 + 9,5962 + 2) = 0,53 times 31,9066 approx 5,3172 , , , , , .
Aplicando na fórmula:

Passo 7

Agora, vamos calcular os limites superiores para o erro das aproximações. Para as Regras dos Trapézios e de Simpson, os erros são dados por:
  • Trapézios:
ET <= (b - a)^312 n^2 maxx in [a,b] |f''(x)|
  • Simpson:
ES <= (b - a)^5180 n^4 maxx in [a,b] |f^(4)(x)|
Para f'(x) = 12raizx, f''(x) = -14 x^3/2, f'''(x) = 38 x^5/2, f^(4)(x) = -1516 x^7/2 :
max |f''(x)| = 14 times 1^3/2 = 14
No intervalo max |f^(4)(x)| = 1516 times 1^7/2 = 1516 , o valor máximo de ET <= (3)^312 times 4^2 times 14 = 2712 times 16 times 14 = 27192 times 14 = 27768 approx 0,0352 é em ET <= 2712 times 36 times 14 = 27432 times 14 = 271728 approx 0,0156 :
ES <= 3^5180 times 4^4 times 1516 = 243180 times 256 times 1516 approx 0,0020
E o máximo de ES <= 243180 times 1296 times 1516 approx 0,0003 também é em :
Para a Regra dos Trapézios com 4 divisões:
Com 6 divisões:
Para a Regra de Simpson com 4 divisões:
Com 6 divisões:

Resposta

Depois de aplicar as Regras dos Trapézios e de Simpson com 4 e 6 divisões, obtivemos os seguintes resultados aproximados para a integral :
  • Regra dos Trapézios:
    • 4 divisões:
    • 6 divisões:
  • Regra de Simpson:
    • 4 divisões:
    • 6 divisões:
O valor exato da integral é . Observamos que as aproximações com a Regra de Simpson estão mais próximas do valor exato, especialmente com 4 divisões. Os limites superiores para o erro mostraram que as aproximações estão dentro de uma margem aceitável de erro.

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