Calcule as integrais a seguir pela regra dos trapézios e de Simpson, usando quatro e seis divisões de . Obtenha um limitante superior para o erro cometido e compare com o valor exato, quando for possível.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral usando as regras dos Trapézios e de Simpson. Aqui, vamos aplicar essas técnicas numéricas com 4 e 6 divisões no intervalo . Para isso, precisamos lembrar de como essas regras funcionam e como calcular o erro das aproximações. Também, vamos comparar com o valor exato da integral quando der.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor exato da integral para termos uma referência. A integral de é:
Avaliada de 1 a 4:
Então, o valor exato da integral é .
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Regra dos Trapézios com 4 divisões. A fórmula da Regra dos Trapézios é:
Onde , e é o número de divisões.
Para 4 divisões:
Os pontos são: , , , , .
Calculando :
Então:
Aplicando na fórmula:
Passo 4
Agora, vamos usar a Regra dos Trapézios com 6 divisões.
Os pontos são: , , , , , , .
Calculando :
Aplicando na fórmula:
Passo 5
Vamos agora aplicar a Regra de Simpson com 4 divisões. A fórmula da Regra de Simpson é:
í
Para 4 divisões ():
Os pontos são , , , , .
Aplicando na fórmula:
Passo 6
Agora, a Regra de Simpson com 6 divisões.
Os pontos são , , , , , , .
Aplicando na fórmula:
Passo 7
Agora, vamos calcular os limites superiores para o erro das aproximações. Para as Regras dos Trapézios e de Simpson, os erros são dados por:
Trapézios:
Simpson:
Para :
No intervalo , o valor máximo de é em :
E o máximo de também é em :
Para a Regra dos Trapézios com 4 divisões:
Com 6 divisões:
Para a Regra de Simpson com 4 divisões:
Com 6 divisões:
Resposta
Depois de aplicar as Regras dos Trapézios e de Simpson com 4 e 6 divisões, obtivemos os seguintes resultados aproximados para a integral :
Regra dos Trapézios:
4 divisões:
6 divisões:
Regra de Simpson:
4 divisões:
6 divisões:
O valor exato da integral é . Observamos que as aproximações com a Regra de Simpson estão mais próximas do valor exato, especialmente com 4 divisões. Os limites superiores para o erro mostraram que as aproximações estão dentro de uma margem aceitável de erro.