Calcule o valor aproximado de
com três casas decimais de precisão usando Simpson e trapézios.
Passo 1
Então, vamos começar entendendo o que exatamente precisamos fazer. A gente tem que calcular o valor aproximado da integral
utilizando dois métodos diferentes: o Método dos Trapézios e o Método de Simpson. Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente no tópico de integração numérica. Para resolver isso, a gente vai precisar dividir o intervalo de integração em partes menores e aplicar as fórmulas desses métodos para obter uma aproximação da área sob a curva.
Passo 2
Primeiro, vamos usar o Método dos Trapézios. Esse método aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo de integração em trapézios e calculando a soma das áreas desses trapézios.
A fórmula do Método dos Trapézios para um único trapézio é:
Onde:
-
e são os limites de integração. -
é a função a ser integrada.
No nosso caso,
,
e
.
Vamos calcular:
Agora, aplicando a fórmula:
Passo 3
Agora, vamos utilizar o Método de Simpson. Esse método é mais preciso que o dos Trapézios porque utiliza parábolas para aproximar a curva, em vez de linhas retas.
A fórmula do Método de Simpson para dois subintervalos (Simpson 1/3) é:
Onde:
-
é o tamanho do intervalo. -
e são os limites de integração.
Vamos calcular com
,
, então
.
Primeiro, calculamos
:
Agora, aplicando a fórmula:
Como usamos dois subintervalos, dividimos o resultado por 2 para obter a média:
Resposta
Usando o Método dos Trapézios, a aproximação da integral é 0,488.
Usando o Método de Simpson, a aproximação da integral é 0,470.
Usando o Método de Simpson, a aproximação da integral é 0,470.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais a seguir pela regra dos trapézios e de Simpson, usando quatro e seis divisões de
. Obtenha um limitante superior para o erro cometido e compare com o valor exato, quando for possível.
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Qual o erro máximo cometido na aproximação de
pela regra de Simpson com quatro subintervalos?
Calcule, pela regra dos trapézios e de Simpson, cada uma das integrais abaixo, com erro menor do que
dado: