Calcule o valor aproximado de integral0^0.6 d x1+x com três casas decimais de precisão usando Simpson e trapézios.

Passo 1

Então, vamos começar entendendo o que exatamente precisamos fazer. A gente tem que calcular o valor aproximado da integral utilizando dois métodos diferentes: o Método dos Trapézios e o Método de Simpson. Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente no tópico de integração numérica. Para resolver isso, a gente vai precisar dividir o intervalo de integração em partes menores e aplicar as fórmulas desses métodos para obter uma aproximação da área sob a curva.

Passo 2

Primeiro, vamos usar o Método dos Trapézios. Esse método aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo de integração em trapézios e calculando a soma das áreas desses trapézios.
A fórmula do Método dos Trapézios para um único trapézio é:
Área approx b - a2 [f(a) + f(b)] Á
Onde:
  • f(0) = 11+0 = 1 e f(0.6) = 11+0.6 = 11.6 approx 0.625 são os limites de integração.
  • Área approx 0.6 - 02 [1 + 0.625] = 0.3 times 1.625 = 0.4875 é a função a ser integrada.
No nosso caso, , e .
Vamos calcular:
Agora, aplicando a fórmula:
Á

Passo 3

Agora, vamos utilizar o Método de Simpson. Esse método é mais preciso que o dos Trapézios porque utiliza parábolas para aproximar a curva, em vez de linhas retas.
A fórmula do Método de Simpson para dois subintervalos (Simpson 1/3) é:
Área approx h3 [f(a) + 4f(a + h2) + f(b)] Á
Onde:
  • f(0 + 0.62) = f(0.3) = 11+0.3 approx 0.769 é o tamanho do intervalo.
  • Área approx 0.63 [1 + 4 times 0.769 + 0.625] = 0.2 times [1 + 3.076 + 0.625] = 0.2 times 4.701 = 0.9402 e Área approx 0.94022 = 0.4701 são os limites de integração.
Vamos calcular com , , então .
Primeiro, calculamos :
Agora, aplicando a fórmula:
Á
Como usamos dois subintervalos, dividimos o resultado por 2 para obter a média:
Á

Resposta

Usando o Método dos Trapézios, a aproximação da integral é 0,488.
Usando o Método de Simpson, a aproximação da integral é 0,470.

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