Calcule as integrais a seguir usando as regras do trapézio e de Simpson repetidas, com quatro subdivisões de
. Compare os resultados:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando duas técnicas de integração numérica: a Regra do Trapézio e a Regra de Simpson, cada uma com quatro subdivisões no intervalo
. A integração numérica é útil quando não conseguimos encontrar a integral exata facilmente ou quando queremos aproximar valores. Vamos precisar calcular os pontos de divisão, avaliar a função nesses pontos e aplicar as fórmulas das regras mencionadas.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Regra do Trapézio com quatro subdivisões.
-
Calcular o tamanho de cada subdivisão (
): -
Determinar os pontos de divisão (
): -
Calcular os valores da função
nesses pontos: -
Aplicar a fórmula da Regra do Trapézio:Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Regra de Simpson com quatro subdivisões.
-
Usar o mesmo
e pontos de divisão: -
Calcular novamente os valores da função (já feitos no passo anterior).
-
Aplicar a fórmula da Regra de Simpson:Substituindo os valores:
Passo 4
Agora que temos as aproximações usando as duas regras, vamos comparar os resultados:
- Regra do Trapézio:
- Regra de Simpson:
Sabemos que a integral exata de
de 1 a 2 é:
Resposta
A Regra do Trapézio aproxima a integral como 4.6951 e a Regra de Simpson como 4.6709. A Regra de Simpson proporciona uma aproximação mais precisa, chegando muito próximo ao valor exato de 4.6708.
Exercícios relacionados
Quantos subintervalos devem ser usados no cálculo de
para que a aproximação tenha erro menor que
nos casos:
b) Fórmula de Simpson. (Resp: )
b) Fórmula de Simpson. (Resp:
Considere as integrais:
b) .
Estime por Quadratura Gaussiana com 2 e 3 pontos.
b)
Estime
Considere as integrais:
a)
Estime por Quadratura Gaussiana com 2 e 3 pontos.
a)
Estime
O problema de valor inicial:
tem como solução exata
. Usando o método de Euler, determine
com
. Era de se esperar tal concordância mesmo com
grande? Por quê?