Calcule as integrais a seguir usando as regras do trapézio e de Simpson repetidas, com quatro subdivisões de [a, b]. Compare os resultados:
(a) integral1^2 e^x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando duas técnicas de integração numérica: a Regra do Trapézio e a Regra de Simpson, cada uma com quatro subdivisões no intervalo . A integração numérica é útil quando não conseguimos encontrar a integral exata facilmente ou quando queremos aproximar valores. Vamos precisar calcular os pontos de divisão, avaliar a função nesses pontos e aplicar as fórmulas das regras mencionadas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Regra do Trapézio com quatro subdivisões.
  1. Calcular o tamanho de cada subdivisão ( h = b - an = 2 - 14 = 0.25 ):
    x0 = 1, x1 = 1.25, x2 = 1.5, x3 = 1.75, x4 = 2
  2. Determinar os pontos de divisão ( f(x0) = e^1 approx 2.7183, f(x1) = e^1.25 approx 3.4903 ):
    f(x2) = e^1.5 approx 4.4817, f(x3) = e^1.75 approx 5.7546
  3. Calcular os valores da função f(x4) = e^2 approx 7.3891 nesses pontos:
    Integral approx h2 [ f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + 2f(x3) + f(x4) ]
    Integral approx 0.252 [ 2.7183 + 2(3.4903) + 2(4.4817) + 2(5.7546) + 7.3891 ]
    Integral approx 0.125 times (2.7183 + 6.9806 + 8.9634 + 11.5092 + 7.3891) approx 0.125 times 37.5606 approx 4.6951
  4. Aplicar a fórmula da Regra do Trapézio:
    Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Regra de Simpson com quatro subdivisões.
  1. Usar o mesmo h = 0.25, x0 = 1, x1 = 1.25, x2 = 1.5, x3 = 1.75, x4 = 2 e pontos de divisão:
    Integral approx h3 [ f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + f(x4) ]
  2. Calcular novamente os valores da função (já feitos no passo anterior).
  3. Aplicar a fórmula da Regra de Simpson:
    Integral approx 0.253 [ 2.7183 + 4(3.4903) + 2(4.4817) + 4(5.7546) + 7.3891 ]
    Substituindo os valores:
    Integral approx 0.0833 times (2.7183 + 13.9612 + 8.9634 + 23.0184 + 7.3891) approx 0.0833 times 56.0504 approx 4.6709

Passo 4

Agora que temos as aproximações usando as duas regras, vamos comparar os resultados:
  • Regra do Trapézio: integral1^2 e^x , dx = e^2 - e^1 approx 7.3891 - 2.7183 = 4.6708
  • Regra de Simpson:
Sabemos que a integral exata de de 1 a 2 é:

Resposta

A Regra do Trapézio aproxima a integral como 4.6951 e a Regra de Simpson como 4.6709. A Regra de Simpson proporciona uma aproximação mais precisa, chegando muito próximo ao valor exato de 4.6708.

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