Calcule as integrais a seguir usando as regras do trapézio e de Simpson repetidas, com quatro subdivisões de . Compare os resultados:
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando duas técnicas de integração numérica: a Regra do Trapézio e a Regra de Simpson, cada uma com quatro subdivisões no intervalo . A integração numérica é útil quando não conseguimos encontrar a integral exata facilmente ou quando queremos aproximar valores. Vamos precisar calcular os pontos de divisão, avaliar a função nesses pontos e aplicar as fórmulas das regras mencionadas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Regra do Trapézio com quatro subdivisões.
  1. Calcular o tamanho de cada subdivisão ( ):
  2. Determinar os pontos de divisão ( ):
  3. Calcular os valores da função nesses pontos:
  4. Aplicar a fórmula da Regra do Trapézio:
    Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Regra de Simpson com quatro subdivisões.
  1. Usar o mesmo e pontos de divisão:
  2. Calcular novamente os valores da função (já feitos no passo anterior).
  3. Aplicar a fórmula da Regra de Simpson:
    Substituindo os valores:

Passo 4

Agora que temos as aproximações usando as duas regras, vamos comparar os resultados:
  • Regra do Trapézio:
  • Regra de Simpson:
Sabemos que a integral exata de de 1 a 2 é:

Resposta

A Regra do Trapézio aproxima a integral como 4.6951 e a Regra de Simpson como 4.6709. A Regra de Simpson proporciona uma aproximação mais precisa, chegando muito próximo ao valor exato de 4.6708.

Exercícios relacionados

Quantos subintervalos devem ser usados no cálculo de
para que a aproximação tenha erro menor que nos casos:
b) Fórmula de Simpson. (Resp: )
Considere as integrais:
b) .
Estime por Quadratura Gaussiana com 2 e 3 pontos.
Considere as integrais:
a)
Estime por Quadratura Gaussiana com 2 e 3 pontos.
O problema de valor inicial:
tem como solução exata . Usando o método de Euler, determine com . Era de se esperar tal concordância mesmo com grande? Por quê?